Βασικό τυπολόγιο παραγώγων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

Οι παρακάτω τύποι ισχύουν υπό την προϋπόθεση ότι τα σύμβολα έχουν νόημα, δηλαδή αν υπάρχουν οι παράγωγοι που εμφανίζονται. Το x είναι η ανεξαρτητη μεταβλητή και a είναι μια μη μηδενική σταθερά.

• Βασικές παράγωγοι ως προς x:

${\frac {da}{dx}}=0$	${\frac {d\ln {x}}{dx}}={\frac {1}{x}}$
${\frac {dx}{dx}}=1$	${\frac {d\sin {x}}{dx}}=\cos {x}$
${\frac {dx^{a}}{dx}}=a\cdot \;x^{a-1}$ (εννοείται x $\neq$ 0,1)	${\frac {d\cos {x}}{dx}}=-\sin {x}$
${\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}$	${\frac {dtanx}{dx}}={\frac {1}{cos^{2}x}}$

• Κανόνες παραγώγισης:

${\frac {d(af(x))}{dx}}=a{\frac {df(x)}{dx}}$

${\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}+{\frac {dg(x)}{dx}}$1

${\frac {d(f(x)\cdot \;g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}\cdot \;g(x)+f(x){\frac {dg(x)}{dx}}$

${\frac {d{\frac {f(x)}{g(x)}}}{dx}}=$${\frac {{\frac {df(x)}{dx}}\cdot g(x)-f(x)\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}}{g^{2}(x)}}$2

${\frac {d(g(f(x)))}{dx}}={\frac {dg(f(x))}{d\mathbf {f(x)} }}\cdot {\frac {df(x)}{dx}}$ (κανόνας της αλυσίδας)3

Σημειωση

¹:Ισχύει επαγωγικά ο τύπος και για περισσότερους όρους της πρόσθεσης, δηλαδή ${\frac {d(f_{1}(x)+f_{2}(x)+\ldots +f_{\nu }(x))}{dx}}={\frac {df_{1}(x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+\ldots +{\frac {df_{\nu }(x)}{dx}}$
²: Ισχύει υπό την προϋπόθεση ότι g(x) διάφορο του μηδενός κοντά στο σημείο εύρεσης της παραγώγου.
³: Ισχύει μόνο αν η f δε γίνεται κάπου σταθερή (σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο μαθηματικών της Γ΄Λυκείου). Αν στην περιοχή εύρεσης της παραγώου η f είναι σταθερή, τότε η παράγωγος ισούται με 0 κοντά στο σημείο εύρεσης της παραγώγου. Εξ' άλλου η g δε μεταβάλλεται σε κάποια περιοχή μόνο και μόνο αν df(x)=0 σε αυτήν την περιοχή, άρα δε μπορεί να εφαρμοστεί ο κανόνας.

Παραδείγματα εφαρμογής των κανόνων

• ${\frac {d\alpha ^{x}}{dx}}={\frac {d(e^{lna})^{x}}{dx}}={\frac {de^{lna\cdot x}}{dx}}={\frac {de^{lna\cdot x}}{d(lna\cdot x)}}{\frac {d(lna\cdot x)}{dx}}=e^{lna\cdot x}\cdot lna=lna\cdot a^{x}$
• ${\frac {dln(ax)}{dx}}={\frac {dln(ax)}{dax}}\cdot {\frac {d(ax)}{dx}}={\frac {1}{(ax)}}\cdot a\cdot {\frac {dx}{dx}}={\frac {1}{x}}$

• ${\frac {d\sin({a\cdot x})}{dx}}={\frac {d\sin({a\cdot x})}{d(ax)}}\cdot {\frac {dax}{dx}}=\cos {(a\cdot x)}\cdot a\cdot {\frac {dx}{dx}}=a\cos {(a\cdot x)}$

*Προσοχή: Οι δύο παραπάνω τύποι ισχύουν, γιατί η συνάρτηση f(x)=ax δεν είναι σταθερή σε κανένα σημείο, ως γνήσια μονότονη.

• ${\frac {d(9x^{3}-2x^{2}+x-10)}{dx}}={\frac {d(9x^{3})}{dx}}+{\frac {d(-2x^{2})}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d(-10)}{dx}}=9{\frac {dx^{3}}{dx}}-2{\frac {dx^{2}}{dx}}+1+0=9\cdot 3x^{2}-2\cdot 2x+1=27x^{2}-4x+1$

επιστροφή στο τμήμα μαθηματικών