Γεωμετρικοί τόποι

Είναι σύνηθες στη μηχανική, φυσική και άλλες επιστήμες να προκύπτουν σχέσεις που εμπλέκουν σημεία ή συντεταγμένες τους. Έτσι, χρησιμοποιούν την αναλυτική γεωμετρία, για να βρουν τα γεωμετρικά σχήματα που περιγράφουν οι σχέσεις.

Η τροχιά ενός σώματος γύρω από ένα άλλο στο διάστημα είναι ένας γεωμετρικός τόπος, το οποίο προκύπτει από τη δύναμη της βαρύτητας.

Πολλές φορές απαιτείται κάποια ακρίβεια, δηλαδή στο εκτιμώμενο γεωμετρικό σχήμα να ανήκουν όλα ανεξαιρέτως τα σημεία που ικανοποιούν τη σχέση. Επιπλέον, συχνά απαιτείται προφανώς όλα τα σημεία του σχήματος να ικανοποιούν τη σχέση. Έτσι, εννοείται η έννοια του γεωμετρικού τόπου. Παρακάτω περιγράφεται οι σχέσεις μεταξύ ενός γεωμετρικού σχήματος και μιας αλγεβρικής σχέσης.

Η έννοια του γεωμετρικού τόπου

Αλγεβρική σχέση και γεωμετρικό σχήμα

Ο κύκλος και τα τέσσερα αναφερόμενα σημεία.

Έστω ένα γεωμετρικό σχήμα και μια αλγεβρική σχέση. Για παράδειγμα, έστω ένας κύκλος ακτίνας 10 και κέντρου την αρχή των αξόνων στο επίπεδο Οχψ και η αλγεβρική σχέση $\chi =|\psi |$. Για να κατανοηθεί η έννοια του γεωμετρικού τόπου εξετάζονται τα σημεία ως προς δύο πράγματα:

• Ανήκουν στο γεωμετρικό σχήμα;
• Επαληθεύουν την αλγβρική σχέση;

Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις για κάθε σημείο:

1. Δεν ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα, ούτε επαληθεύει την αλγεβρική σχέση. Για παράδειγμα το σημείο (4,2) δεν ανήκει στον κύκλο ούτε επαληθεύει την αλγεβρική σχέση.
2. Ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα, αλλά δεν επαληθεύει την αλγεβρική σχέση. Για παράδειγμα το σημείο (10,0) ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα, αλλά δεν ανήκει στην αλγεβρική σχέση.
3. Δεν ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα, αλλά επαληθεύει την αλγεβρική σχέση. Για παράδειγμα το σημείο (4,4) δεν ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα, αλλά επαληθεύει την αλγεβρική σχέση.
4. Ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα και επαληθεύει την αλγεβρική σχέση. Για παράδειγμα το σημείο $(5{\sqrt {2}},5{\sqrt {2}})$ ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα και επαληθεύει την αλγεβρική σχέση.

Αναγκαία συνθήκη του γεωμετρικού σχήματος

Η διχοτόμος του πρώτου τεταρτιμορίου.

Έστω ένα γεωμετρικό σχήμα. Μια αλγεβρική σχέση μπορεί να είναι αναγκαία για αυτό το γεωμετρικό σχήμα. Δηλαδή, αν θεωρήσουμε το συγκεκριμένο γεωμετρικό σχήμα, η αλγεβρική σχέση επαληθεύεται για κάθε σημείο του σχήματος. Για παράδειγμα, έστω η διχοτόμος του πρώτου τεταρτιμορίου του επιπέδου Οχψ. Η αλγεβρική σχέση $\chi =|\psi |$ επαληθεύεται για κάθε σημείο της διχοτόμου. Η αλγεβρική σχέση είναι αναγκαία συνθήκη της διχοτόμου, ισχύει αυτόματα κάθε φορά που αναφερόμαστε στη διχοτόμο.

Ερώτηση κατανόησης: Ποιές περιπτώσεις από τις 4 παραπάνω έχουμε για τα σημεία του σχήματος; Ποιές έχουμε για τα σημεία που δεν ανήκουν στο σχήμα; Ποιές περιπτώσεις δεν εμφανίζονται; Αποδείξτε γιατί.
Για κάθε σημειο που ανήκει στο σχήμα έχουμε την περίπτωση 4, το σημείο ανήκει στο σχήμα και επαληθεύει τη σχέση. Τα σημεία που δεν ανήκουν στο σχήμα, αν υπάρχουν ανήκουν στην περίπτωση 1 ή στην περίπτωση 3 ή μερικά στην 1 και μερικά στην 3. Η περίπτωση 2 δεν εμφανίζεται, γιατί κάθε σημείο που ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα επαληθεύει την αλγεβρική σχέση.

Ικανή συνθήκη του γεωμετρικού σχήματος

Οι διχοτόμοι των τεταρτιμορίων.

Έστω ένα γεωμετρικό σχήμα. Μια αλγεβρική σχέση μπορεί να είναι ικανή για αυτό το γεωμετρικό σχήμα. Δηλαδή, αν θεωρήσουμε το συγκεκριμένο γεωμετρικό σχήμα, κάθε σημείο για το οποίο επαληθεύεται η αλγεβρική σχέση ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα. Για παράδειγμα, έστω οι διχοτόμοι των τεσσάρων τεταρτιμορίων του επιπέδου Οχψ. Κάθε σημείο για το οποίο ισχύει η αλγεβρική σχέση $\chi =|\psi |$ ανήκει στο θεωρημένο γεωμετρικό σχήμα. Η αλγεβρική σχέση είναι ικανή συνθήκη της διχοτόμου, δεν ισχύει πουθενά αλλού εκτός από κάποια σημεία που ανήκουν στο γεωμετρικό σχήμα.

Ερώτηση κατανόησης: Ποιές περιπτώσεις από τις 4 παραπάνω έχουμε για τα σημεία του σχήματος; Ποιές έχουμε για τα σημεία που δεν ανήκουν στο σχήμα; Ποιές περιπτώσεις δεν εμφανίζονται; Αποδείξτε γιατί.
Για τυχόν σημειο που ανήκει στο σχήμα έχουμε την περίπτωση 2 ή 4, το σημείο ανήκει στο σχήμα. Τα σημεία που δεν ανήκουν στο σχήμα, αν υπάρχουν ανήκουν στην περίπτωση 1. Η περίπτωση 3 δεν εμφανίζεται, γιατί κάθε σημείο που επαληθεύει την αλγεβρική σχέση ανήκει στο σχήμα.

Γεωμετρικός τόπος

Γεωμετρικός τόπος της αλγεβρικής σχέσης Α(P)=0 ονομάζεται το σύνολο των σημείων P για τα οποία ισχύει η σχέση A(P)=0.

Για το γεωμετρικό τόπο η αλγεβρική σχέση είναι ικανή και αναγκαία. Κάθε σημείο που ανήκει στο γεωμετρικό τόπο επαληθεύει την αλγεβρική σχέση και αντιστρόφως κάθε σημείο που επαληθεύει την αλγεβρική σχέση ανήκει στο γεωμετρικό τόπο.

Ερώτηση κατανόησης: Ποιές περιπτώσεις από τις 4 παραπάνω έχουμε για τα σημεία του σχήματος; Ποιές έχουμε για τα σημεία που δεν ανήκουν στο σχήμα; Ποιές περιπτώσεις δεν εμφανίζονται; Αποδείξτε γιατί.
Για κάθε σημειο που ανήκει στο σχήμα έχουμε την περίπτωση 4, το σημείο ανήκει στο σχήμα και επαληθεύει την αλγεβρική σχέση. Τα σημεία που δεν ανήκουν στο σχήμα, αν υπάρχουν ανήκουν στην περίπτωση 1. Η περίπτώσεις 2 και 3 δεν εμφανίζονται, γιατί κάθε σημείο που επαληθεύει την αλγεβρική σχέση ανήκει στο σχήμα και κάθε σημείο που δεν επαληθεύει την αλγεβρική σχέση δεν ανήκει στο γεωμετρικό σχήμα.

Άσκηση: Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της σχέσης $\chi =|\psi |$
σχήμα	Λύση
	$\chi =|\psi |\Leftrightarrow {\begin{cases}\chi =\psi \;{\acute {\eta }}\;\chi =-\psi \\\chi \geq 0\end{cases}}$

Σημαντικοί γεωμετρικοί τόποι

Οι γεωμετρικοί τόποι διακρίνονται στους γεωμετρικούς τόπους ισοτήτων και στους γεωμετρικούς τόπους ανιστοήτων.

Ισότητες

Ευθεία

Έχουμε ήδη αναφέρει ότι η αλγεβρική σχέση που αναπαριστά ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α, Β είναι ο τύπος $({\vec {P}}-{\vec {A}})\times {\vec {AB}}={\vec {0}}$ με όρισμα το διάνυσμα θέσης ${\vec {P}}$.

Άσκηση: Αποδείξτε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα Α,Β είναι ο γεωμετρικός τόπος του $({\vec {P}}-{\vec {A}})\times {\vec {AB}}={\vec {0}}$
λύση
Το διάνυσμα ${\vec {P}}-{\vec {A}}$ έχει την ίδια διεύθυνση με το διάνυσμα ${\vec {AB}}$, άρα με τον φορέα του ${\vec {AB}}$, δηλαδή την ευθεία που διέρχεται από τα Α,Β. Ο φορέας του ${\vec {P}}-{\vec {A}}$ διέρχεται από το Α, άρα ταυτίζεται με τον προηγούμενο φορέα (γιατί αλλιώς θα ήταν παράλληλες ευθείες, άρα δε θα είχαν κοινό σημείο που είναι άτοπο, αφού έχουν ως κοινό σημείο το Α). Το P λοιπόν ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα Α,Β. Επομένως, κάθε σημείο P που επαληθεύει την αλγεβρική σχέση ανήκει στην ευθεία. Έστω ένα τυχαίο σημείο P που ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα Α, Β. Το διάνυσμα ${\vec {P}}-{\vec {A}}$ έχει τον ίδιο φορέα με το διάνυσμα ${\vec {AB}}$, άρα και την ίδια διεύθυνση, άρα ισχύει η συνθήκη παραλληλίας $({\vec {P}}-{\vec {A}})\times {\vec {AB}}={\vec {0}}$. Επομένως, κάθε σημείο P που ανήκει στην ευθεία επαληθεύει την αλγεβρική σχέση. Άρα ο γεωμετρικός τόπος του $({\vec {P}}-{\vec {A}})\times {\vec {AB}}={\vec {0}}$ είναι η ευθεία που διέρχεται από τα Α, Β.

Επίπεδο

Άσκηση: Αποδείξτε ότι το επίπεδο που είναι κάθετο στο διάνυσμα ${\vec {\delta }}$ και διέρχεται από το ${\vec {A}}$ είναι ο γεωμετρικός τόπος του $({\vec {P}}-{\vec {A}})\cdot {\vec {\delta }}=0$
λύση