Δεσμευμένη πιθανότητα

Δεσμευμένη πιθανότητα (αγγλικά: conditional probability) ονομάζουμε τη πιθανότητα ενός ενδεχομένου $A$ ξέροντας ότι ήδη έχει συμβεί ένα άλλο ενδεχόμενο $B$, και το γράφουμε ως $P(A\mid B)$.

Εισαγωγή

Ο Γιώργος, που του αρέσουν τα τυχερά παιχνίδια, αποφασίζει να παίξει ένα παιχνίδι με ζάρια. Σ' αυτό το παιχνίδι οι κανόνες είναι απλοί: ο παίκτης που θα τύχει το μεγαλύτερο νούμερο κερδίζει, εκτός αν κάποιος τύχει διπλή ζαριά, οπότε κερδίζει η μεγαλύτερη διπλή ζαριά. Όπως πάντα υποθέτουμε ότι τα ζάρια είναι δίκαια και ο Γιώργος ρίχνει το πρώτο του ζάρι, το οποίο τυχαίνει να είναι έξι. Αν υποθέσουμε ότι έχει παίξει ήδη ένας άλλος παίκτης που έχει φέρει δέκα χωρίς διπλή ζαριά, ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει ο Γιώργος τον γύρο;

Εφόσον ξέρουμε ότι το πρώτο ζάρι έτυχε έξι και θέλουμε το άθροισμα να είναι μεγαλύτερο του δέκα, τότε για να είναι ο Γιώργος ο νικητής πρέπει το δεύτερο ζάρι να τύχει ή 5 ή 6. Βλέπουμε ότι η πρώτη ζαριά βοήθησε το Γιώργο, αν είχε φέρει 3 ή μικρότερο αριθμό θα είχε χάσει το παιχνίδι απ' την πρώτη ζαριά. Μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε ότι η πιθανότητα να κερδίσει το παιχνίδι είναι $2/6=1/3$.

Ξαναπαίζοντας το παιχνίδι, ο αντίπαλος του Γιώργου τυχαίνει δύο με διπλή ζαριά, δηλαδή δύο άσους. Ο Γιώργος ξαναρίχνει το πρώτο ζάρι και τυχαίνει ξανά έξι. Σε αυτήν την περίπτωση όμως μπορεί να κερδίσει μόνο με διπλή γιατί ο αντίπαλός του έχει φέρει διπλή, δηλαδή μπορεί να κερδίσει μόνο αν και το επόμενο ζάρι είναι έξι. Έτσι τώρα η πιθανότητα νίκης είναι $1/6$. Το ότι το πρώτο ζάρι είναι 6 δεν έχει όμως καμιά σημασία για το πόσο πιθανό είναι να νικήσει, θα μπορούσε να είναι οποιοδήποτε νούμερο (εκτός από άσο) και πάλι η πιθανότητα θα ήταν $1/6$. Γίνεται λοιπόν προφανές ότι η πιθανότητα μερικών ενδεχομένων εξαρτάται από την εκ των προτέρων γνώση μερικών άλλων ενδεχομένων, όπως στο παράδειγμά μας με το ζάρι.

Δεσμευμένη πιθανότητα

Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε δύο ενδεχόμενα $A$ και $B$.

Ορισμός

Η δεσμευμένη πιθανότητα ενός γεγονότος $A$ ενώ ξέρουμε ότι ένα ενδεχόμενο $B$ πραγματοποιείται, που συμβολίζεται $P(A\mid B)$, ορίζεται ως

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

και το διαβάζουμε πιθανότητα του $A$ δεδομένου του $B$.