Εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωμετρία (Αντικείμενο και Ιστορική Αναδρομή της Ευκλείδειας Γεωμετρίας)

Ως πρώτο μάθημα θεωρήσαμε σωστό να κάνουμε μία μικρή εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Η γεωμετρία αποτελεί μία αλυσίδα, αν κάποιος δεν διδαχθεί π.χ. τα τρίγωνα δεν μπορεί να διδαχθεί παραλληλόγραμμα και συνεπώς δεν μπορεί να διδαχθεί και εγγεγρμμένα σχήματα και ούτω καθεξής. Στο τέλος κάθε ενότητας π.χ. κεφάλαιο τρίτο-Τρίγωνα, ενότητα 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων, θα υπάρχουν ασκήσεις με την θεωρία που διδάχθηκε, άλλες φορές απλές και άλλες φορές πιο δύσκολες. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου π.χ. του τρίτου θα υπάρχουν οι Γενικές Ασκήσεις αλλά και Σύνθετα θέματα ασκήσεων, οι οποίες περιέχουν περίπου όλη την θεωρία που διδάχθηκε στο συγκεκριμένο κεφάλαιο. Τέλος, θα θέλεμε να ξέρεις ότι η Γεωμετρία χρειάζεται υπομονή, επιμονή και συνδιαστικότητα. Η Γεωμετρία συμβάλλει στην απόκτηση λογικής σκέψης και κρίσης γι' αυτό αγάπησέ την.

1.1) Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Το αντικείμενο της Γεωμετρίας είναι η μελέτη του χώρου και των σχημάτων, επίπεδων και στερεών, που μπορούν να υπάρξουν μέσα σε αυτόν. Στον χώρο διακρίνουμε τις επιφάνειες, τις γραμμές και τα σημεία (βλ. Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα). Οι επιφάνειες έχουν δύο διαστάσεις, οι γραμμές μία και τα σημεία καμία. Η Γεωμετρία ήταν ο πρώτος κλάδος της ανθρώπινης γνώσης που διαμορφώθηκε ως επιστήμη και επί αιώνες ο μόνος. Το αντικείμενό της, ο χώρος και τα σχήματα, είναι και προσιτό και πλούσιο, πρόσφορο για θεωρητική μελέτη αλλά και πρακτικές εφαρμογές. Από την αρχαιότητα έως και σήμερα τα πεδία εφαρμογής της Γεωμετρίας διευρύνονται.

1.2) Ιστορική Αναδρομή της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Η γένεση των πρώτων εννοιών της Γεωμετρίας είναι μία διαδικασία που κράτησε πολλούς αιώνες. Στην διαμόρφωση των γεωμετρικών εννοιών, φυσικά, βοήθησε και η απεικόνιση των γεωμετρικών αντικειμένων και σχέσεων με παραστάσεις κυρίως ζωγραφικές που λειτούργησαν ως μοντέλα των πραγματικών αντικειμένων.

Πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων βρίσκουμε μεταξύ τρίτης και δεύτερης χιλιετίας π. Χ. οι οποίες φυσικά προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου και της Μεσοποταμίας. Οι γεωμετρικές γνώσεις αυτών των λαών ήταν κατά κύριο λόγο γνώσεις Πρακτικής Γεωμετρίας (υπολογισμός επιφανειών και όγκων). Αυτή η μορφή Γεωμετρίας διήρκησε για πολλούς αιώνες δίχως αισθητή πρόοδο.

Στην Αρχαία Ελλάδα όμως εγκαινιάζεται μια νέα περίοδος για την Γεωμετρία. Η Γεωμετρία αρχίζει να γίνεται μια αφηρημένη και αποδεικτική επιστήμη. Υπάρχει η έννοια της λογικής απόδειξης η οποία λειτουργεί και ως μέθοδος επιβεβαίωσης της αλήθειας μιας γεωμετρικής πρότασης. Έτσι σιγά-σιγά εμφανίζονται οι πρώτες γεωμετρικές πραγματείες, όπως του Ιπποκράτη του Χίου και τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη, το δεύτερο (μετά την Καινή Διαθήκη) πολυδιαβασμένο βιβλίο παγκοσμίως. Επομένως, η Γεωμετρία μεταμορφώνεται από Πρακτική σε Θεωρητική (μελετά αφηρημένα νοητικά αντικείμενα).

Την Ελληνιστική εποχή αναπτύσσονται νέες μέθοδοι υπολογισμού επιφανειών και όγκων που στηρίζονται σε αφηρημένες προσεγγίσεις και βαθιές μαθηματικές θεωρίες. Συνάμα, εμφανίζονται αφηρημένες θεωρίες για νέα γεωμετρικά αντικείμενα (π.χ. η θεωρία των κωνικών τομών). Την ίδια εποχή φαίνεται ότι άρχισαν οι προσπάθειες απόδειξης του πέμπτου αιτήματος του Ευκλείδη (Αίτημα των Παραλλήλων).

Αργότερα, η Ευρωπαϊκή Αναγέννηση οδηγεί σε νέα άνθηση της Γεωμετρίας. Ο Ντεκαρτ (Καρτέσιος) εισάγει το πρώτο μισό του 17ου αιώνα την μέθοδο των συντεταγμένων. Έτσι αρχίζει να γεννιέται μία νέα Γεωμετρία μέσω της αναπτυσσόμενης Άλγεβρας σε συνδυασμό με την Ανάλυση που βρισκόταν στο στάδιο της γένεσής της. Αυτή η νέα Γεωμετρία ονομάστηκε Αναλυτική Γεωμετρία και μελετά τα γεωμετρικά σχήματα με μεθόδους της Άλγεβρας.

Τον 18ο αιώνα οι κλάδοι της Γεωμετρίας αυξήθηκαν. Με την εισαγωγή των μεθόδων του διαφορικού λογισμού δημιουργείται η Διαφορική Γεωμετρία, αντικείμενο τις οποίας γίνονται αρχικά όλες οι λείες καμπύλες και επιφάνειες και οι μετασχηματισμοί τους. Τον 17ο αιώνα αναπτύσσεται η Προβολική Γεωμετρία με αντικείμενο την απεικόνιση των σωμάτων πάνω στο επίπεδο (Ντερζάκ και Πασκάλ). Έπειτα, η καθαυτή θεωρία της γεωμετρικής απεικόνισης οδήγησε στο σύστημα της Παραστατικής Γεωμετρίας.

Σε όλους τους παραπάνω κλάδους οι θεμελιώδεις έννοιες και τα αξιώματα παρέμεναν σχεδόν τα ίδια από την εποχή της Αρχαίας Ελλάδας. Στις αρχές του 19ου αιώνα γίνεται μία επανάσταση στον χώρο της Γεωμετρίας με την ανακάλυψη της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας από τον Ν. Λομπατσέφσκι (1829) και τον Γ. Μπόλυαϊ (1832).

Η νέα περίοδος που εγκαινιάζει ο Λομπατσέφσκι χαρακτηρίζεται από την ανάπτυξη νέων γεωμετρικών θεωριών, την αλλαγή του αντικειμένου της Γεωμετρίας και τον διαχωρισμό της έννοιας του «μαθηματικού» από την έννοια του «πραγματικού» χώρου. Ο Ρήμαν το 1854 διατυπώνει την νέα έννοια του γενικευμένου μαθηματικού χώρου σαφέστατα και οδηγεί στην γέννηση μίας νέας Γεωμετρίας της Ρημάνειας Γεωμετρίας.

Εμείς όμως θα επικεντρωθούμε σε έναν μόνο κλάδο από τους τόσους της Γεωμετρίας και αυτός είναι η Ευκλείδεια Γεωμετρία.