Ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές, διαγωνιοποίηση

Επιστροφή στη Γραμμική Άλγεβρα.

Ιδιοδιάνυσμα του πίνακα ${\underline {A}}$ ονομάζεται η μη μηδενική λύση της εξίσωσης ${\underline {A}}{\underline {x}}=l{\underline {x}}$. Ο αριθμός l ονομάζεται ιδιοτιμή.

Έσωτ ο ${\underline {A}}$ $n\times m$ και ο ${\underline {x}}$ $s\times t$. Τότε, ισχύει:

• Για να γίνει ο πολλαπλασιασμός πινάκων πρέπει m=s.
• Από την ισότητα $n\times t=s\times t$, άρα n=s.
• Άρα n=m, δηλαδή ο πίνακας ${\underline {A}}$ είναι τετραγωνικός.

Έστω ότι ο πίνακας ${\underline {x}}$ είναι διάνυσμα, δηλαδή t=1.

Σημειώστε ότι η $\mathrm {A} \mathrm {x} =\mathrm {l} \mathrm {x}$είναι μη γραμμική εξίσωση.Το $\mathrm {l}$ πολλαπλασιάζει το $\mathrm {x}$ . Aν μπορούμε να ανακαλύψουμε το $\mathrm {l}$ τότε η εξίσωση θα ήταν γραμμική ως προς $\mathrm {x}$ Πράγματι τότε θα γράφαμε $\mathrm {lIx}$ αντί για $\mathrm {lx}$και θα φέρναμε αυτόν τον όρο στην αριστερή πλευρά:

$$\mathrm {(A-l)x=0}$$

Το κλειδί για τη λύση του προβλήματος είναι το εξής:

• Το διάνυσμα ${\underline {x}}$ περιέχεται στον μηδενοχώρο του $\mathrm {A-lx}$

• Ο αριθμός $\mathrm {l}$ είναι τέτοιος ώστε το $\mathrm {A-lx}$ να έχει μηδενοχώρο

Βέβαια, κάθε πίνακας έχει μηδενόχωρο. Είναι αστείο να πούμε κάτι διαφορετικό, καταλαβαίνετε όμως τι εννοούμε. Εννοούμε μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα $\mathrm {x}$. Το διάνυσμα $\mathrm {x=0}$ ικανοποιεί πάντοτε την $\mathrm {Ax=lx}$ και περιέχεται πάντοτε στο μηδενόχωρο, για τη λύση όμως διαφορικών εξισώσεων είναι άχρηστο. Στόχος μας είναι να συναρμολογήσουμε τη λύση $\mathrm {u(t)}$ χρησιμοποιώντας εκθετικές $e^{lt}x$, και μας ενδιαφέρουν μόνον εκείνες οι ειδικές τιμές του $\mathrm {l}$, για τις οποίες υπάρχει ένα μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα $\mathrm {x}$. Για να έχει κάποια χρησιμότητα ο μηδενοχώρος του $\mathrm {A-lx}$ , πρέπει να περιέχει διανύσματα διαφορετικά του μηδενός. Με λίγα λόγια, ο $\mathrm {A-lx}$ πρέπει να είναι ιδιόμορφος.

Η ορίζουσα δίνει ένα αποτελεσματικό κριτήριο γι αυτό.

αριθμός είναι ιδιοτιμή του Α όταν και μόνον όταν ισχύει

$\mathrm {det(A-lI)=0}$

Αυτή είναι η χαρακτηριστική εξίσωση και σε κάθε λύση της $\mathrm {l}$ αντιστοιχεί ένα ιδιοδιάνυσμα $\mathrm {x}$:

$\mathrm {(A-lI)x=0}$ ή $\mathrm {Ax=lx}$

Έστω ότι $\mathrm {A={\bigl (}{\begin{smallmatrix}4&-5\\2&-3\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ άρα ο $\mathrm {(A-lx)=} {\bigl (}{\begin{smallmatrix}4-l&-5\\2&-3-l\end{smallmatrix}}{\bigr )}$

και η ορίζουσα $\mathrm {det(A-lx)=det} {\bigl (}{\begin{smallmatrix}4-l&-5\\2&-3-l\end{smallmatrix}}{\bigr )}\mathrm {=(4-l)(-3-l)+10} =l^{2}-l-2$ αυτό είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και οι ιδιοτιμές είναι οι λύσεις του $\mathrm {l^{2}-l-2=0}$ .

$\mathrm {l=} \mathrm {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a} \mathrm {=} \mathrm {1\pm {\sqrt {9}} \over 2} \mathrm {\Rightarrow l=-1}$ ή $\mathrm {l=2}$

Υπάρχουν δύο ιδιοτιμές, διότι κάθε τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες Κάθε 2 επί 2 πίνακας $\mathrm {A-lx}$ έχει στην ορίζουσά του το $\mathrm {l^{2}}$ (αλλά όχι μεγαλύτερη δύναμή του). Κάθε μία απ' αυτές τις ειδικές τιμές, $\mathrm {l=-1}$ και $\mathrm {l=2}$, οδηγεί σε μια λύση του $\mathrm {(A-l)x=0}$ Ένας πίνακας με μηδενική ορίζουσα είναι ιδιόμορφος και επομένως ο μηδενόχωρός του περιέχει ένα μη μηδενικό διάνυσμα $\mathrm {x}$. Στην πραγματικότητα ο μηδενόχωρος περιέχει μια ολόκληρη ευθεία από ιδιοδιανύσματα: είναι ένας υποχώρος!

• για $\mathrm {l=-1}$,

${\textstyle \mathrm {(A-l_{1}I)x={\bigl (}{\begin{smallmatrix}5&-5\\2&-2\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\tbinom {y}{z}}={\tbinom {0}{0}}} }$ άρα το πρώτο ιδιοδιάνυσμα είναι οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του ${\textstyle \mathrm {x_{1}={\tbinom {1}{1}}} }$

• για $\mathrm {l=2}$

${\textstyle \mathrm {(A-l_{2}I)x={\bigl (}{\begin{smallmatrix}2&-5\\2&-5\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\tbinom {y}{z}}={\tbinom {0}{0}}} }$ άρα το πρώτο ιδιοδιάνυσμα είναι οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του ${\textstyle \mathrm {x_{2}={\tbinom {5}{2}}} }$

μέθοδος υπολογισμού ιδιοτιμής :

1. Υπολόγισε την ορίζουσα του $\mathrm {A-lI}$. Όταν αφαιρεθεί το $\mathrm {l}$ από τα διαγώνια στοιχεία, η ορίζουσα αυτή είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $\mathrm {n}$.
2. Βρες τις ρίζες αυτού του πολυωνύμου. Οι $\mathrm {n}$ ρίζες είναι οι ιδιοτιμές.
3. Για κάθε μία ιδιοτιμή,λύσε το σύστημα ${\textstyle \mathrm {(A-lI)x=0} }$. Επειδή η ορίζουσα είναι μηδέν, υπάρχουν λύσεις διαφορετικές της ${\textstyle \mathrm {x=0} }$. Αυτές είναι τα ιδιοδιανύσματα.