Μέτρα θέσης

Κατά την επεξεργασία δεδομένων χρειαζόμαστε κάποια μέτρα ώστε να μπορούμε να συγκρίνουμε διαφορετικούς πληθυσμούς ή δείγματα μεταξύ τους. Τη δυνατότητα αυτή μας τη δίνουν σε μεγάλο βαθμό τα μέτρα θέσης και τα μέτρα διασποράς. Τα μέτρα θέσης αποτελούν παραμέτρους που δείχνουν γύρω από ποια τιμή τείνουν να συγκεντρωθούν τα δεδομένα μας, δηλαδή δείχνουν την κεντρική τάση των δεδομένων μας.

Η μέση τιμή

Η μέση τιμή (λέγεται επίσης και αριθμητικός μέσος) είναι ίσως το γνωστότερο και πιο χρησιμοποιούμενο μέτρο θέσης. Αν θεωρήσουμε ότι έχουμε έναν πληθυσμό με $N$ στοιχεία, τότε η μέση τιμή πληθυσμού οριζέται ως εξής

Μέση τιμή πληθυσμού

Για έναν πληθυσμό $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}$ με $N$ στοιχεία ορίζουμε τη μέση τιμή πληθυσμού ως

$\mu ={\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{N}}{N}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\!x_{i}}{N}}$

Εντελώς αντίστοιχα αν έχουμε ένα δείγμα μόνο απ' τον πληθυσμό, και έστω ότι αυτό έχει $n$ στοιχεία, τότε ορίζουμε τη μέση τιμή δείγματος σύμφωνα με την παρακάτω σχέση

Μέση τιμή δείγματος

Για ένα δείγμα $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ με $n$ στοιχεία ορίζουμε τη μέση τιμή δείγματος ως

${\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\!x_{i}}{n}}$

Όπως είναι φυσικό πολλές φορές δεν μπορούμε να έχουμε στη διάθεσή μας όλα τα δεδομένα του πληθυσμού ή αυτά είναι πάρα πολλά και δεν μπορούμε να τα επεξεργαστούμε όλα. Γι' αυτό το λόγο η μέση τιμή δείγματος είναι πολύ σημαντικό μέγεθος για να κάνουμε εκτιμήσεις για όλον τον πληθυσμό, που είναι και ο σκοπός της Επαγωγικής Στατιστικής.

Αξίζει επίσης να σημειώσουμε ότι επειδή η μέση τιμή είναι μέγεθος πιο ακριβές απ' ότι κάθε μία παρατήρηση ξεχωριστά, χρησιμοποιούμε ένα περισσότερο σημαντικό ψηφίο στον υπολογισμό της. Για παράδειγμα, αν κάθε παρατήρηση δίνεται με την ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίου, τότε θα χρησιμοποιούμε δύο δεκαδικά ψηφία για τον υπολογισμό της μέσης τιμής.

Επικρατούσα τιμή

Έχοντας συγκεντρώσει τα δεδομένα μας βλέπουμε ότι ορισμένες τιμές εμφανίζονται περισσότερες φορές από κάποιες άλλες. Αυτό μας οδηγεί στο να ορίσουμε την επικρατούσα τιμή.

Επικρατούσα τιμή

Επικρατούσα τιμή ${\tilde {\mu }}$ ονομάζουμε την τιμή που εμφανίζεται πιο συχνά στα δεδομένα.

Αν έχουμε ένα γράφημα με τα δεδομένα μας, η επικρατούσα τιμή είναι η τιμή για την οποία εμφανίζεται κορυφή στο γράφημα. Συμβαίνει μερικές φορές η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή να μην είναι μοναδική, αλλά δύο ή περισσότερες. Σε αυτές τις περιπτώσεις το δείγμα μας ονομάζεται δικόρυφο ή πολυκόρυφο αντίστοιχα. Αν έχουμε μόνο μία επικρατούσα τιμή, τότε το ονομάζουμε μονοκόρυφο.

Η επικρατούσα τιμή σε συνδυασμό με τη μέση τιμή μπορεί νας μας δώσει μια εικόνα για την ασυμμετρία του δείγματός μας. Αν η επικρατούσα τιμή είναι μεγαλύτερη της μέσης τιμής ($\mu <{\tilde {\mu }}$) τότε το δείγμα μας παρουσιάζει αρνητική ασυμμετρία, ενώ αν η επικρατούσα τιμή είναι μικρότερη της μέσης τιμής ($\mu >{\tilde {\mu }}$) τότε παρουσιάζει θετική ασυμμετρία. Πρέπει να σημειωθεί όμως ότι αυτός δεν είναι ο ορισμός της ασυμμετρίας, αλλά αποτελεί έναν απλό τρόπο αν θέλουμε να έχουμε μια γρήγορη εικόνα.