Μαγνητικό πεδίο

Εισαγωγή

Μαγνητικό πεδίο ονομάζεται το πεδίο εκείνο στο οποίο όταν φέρουμε έναν μαγνήτη αυτός δέχεται δύναμη και περιστρέφεται ή κινείται κατάλληλα προς τον αντίστοιχο μαγνητικό πόλο. Πολύ παλιά, ο άνθρωπος παρατήρηση ότι ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός δεν είναι δύο εντελώς ανεξάρτητα φαινόμενα.Ένας μαγνήτης μπορεί να παράξει ηλεκτρισμό (ηλεκτρικό πεδίο) όταν κινείται και αντίστροφα, μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο μπορεί να παράξει ηλεκτρικό πεδίο. Πρώτος ο Μάξγουελ κατάφερε να "ενώσει" τα δύο αυτά πεδία και έτσι προέκυψε το πεδίο έρευνας του ηλεκτρομαγνητισμού.

Το ηλεκτρικό πεδίο όπως είναι γνωστό είναι συντηρούμενο πεδίο. Αυτό σημαίνει ότι :$\oint _{C}{\vec {\mathrm {E} }}\cdot {\vec {dl}}=0$, το έργο της δύναμης του πεδίου κατά μήκους κλειστής διαδρομής είναι πάντα ίσο με το μηδέν.

Θεωρούμε μια επίπεδη κλειστή καμπύλη C πάνω σε επιφάνεια S και υποθέτουμε ότι η καμπύλη αυτή βρίσκεται μέσα σε μαγνητικό πεδίο μαγνητικής επαγωγής ${\vec {\mathrm {B} }}$ της οποίας το μέτρο ελαττώνεται με τον χρόνο. Διαπιστώνουμε πολύ εύκολα ότι ο αγωγός διαρρέεται από ρεύμα εντάσεως Ι του οποίου τα χαρακτηριστικά δίδονται από τον κανόνα του Lenz.

$I={d({\vec {\mathrm {B} }}\cdot {\vec {S}}) \over {dt}}={\vec {S}}\cdot {d{\vec {\mathrm {B} }} \over {dt}}+{\vec {\mathrm {B} }}\cdot {d{\vec {S}} \over {dt}}$

Στην περίπτωσή μας, το διάνυσμα επιφάνειας του αγωγού είναι σταθερό (δεν μεταβάλλεται με τον χρόνο) και επομένως ο δεύτερος όρος του αθροίσματος μηδενίζεται.

Κανόνας του Lenz

Ο κανόνας αυτός διατυπώνεται ως: Το επαγόμενο ρεύμα στο κύκλωμα έχει τέτοια φορά πάντοτε έτσι ώστε να παράγεται τέτοια ροή που να αντιτίθεται στην μεταβολή ${\vec {\mathrm {B} }}$ που το προκάλεσε.

Ο Νόμος του Faraday

Ο Νόμος του Φάραντεϊ, που είναι γνωστός ως "ο νόμος της ροής", διατυπώνεται ως εξής: Η Ηλεκτρεγερτική Δύναμη ή το δυναμικό που επάγεται κατά μήκος της κλειστής καμπύλης C, δίδεται από την σχέση:

${\mathcal {E}}=\oint _{C}\mathrm {E} \cdot {d{\vec {l}}}={d{\Phi } \over {dt}}=-{{d} \over {dt}}\int _{S}{\vec {\mathrm {B} }}\cdot d{\vec {S}}$

όπου $\Phi =\int _{S}{\vec {\mathrm {B} }}\cdot ds$ είναι η συνολική ροή της μαγνητικής ροής που περνά από την επιφάνεια S σε Weber (Wb) και ${\mathcal {E}}$ είναι η συνολική επαγόμενη ηλεκτρεγερτική δύναμη σε Volts.

Διαφορική μορφή του Νόμου Φαραντεΐ

Από παραπάνω είναι γνωστό ότι ${\mathcal {E}}=-{{d} \over {dt}}\int _{S}{\vec {\mathrm {B} }}\cdot d{\vec {S}}$.

Από του θεώρημα του Stokes, γνωρίζουμε ότι $\oint _{C}{\vec {\mathrm {E} }}\cdot {d{\vec {l}}}=\int _{S}(\nabla \times {\vec {\mathrm {E} }})\cdot {d{\vec {S}}}$, οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται:

$\nabla \times {\vec {\mathrm {E} }}=-{\partial {\vec {\mathrm {B} }} \over {\partial t}}$

που αποτελεί την ολοκληρωτική μορφή του νόμου Maxwell-Faraday

Διανυσματικό Δυναμικό

Εάν στην τελευταία σχέση αντικαταστήσουμε ${\vec {\mathrm {B} }}=\nabla \times \mathrm {A}$, θα πάρουμε την διανυσματική σχέση

$\nabla \times ({\vec {\mathrm {E} }}+{{\partial {\vec {\mathrm {A} }}} \over {\partial {t}}})=0$

.

Όπως είναι όμως γνωστό, όταν η στροφή μιας συνάρτησης είναι μηδέν, υπάρχει πάντα μια αριθμητική συνάρτηση φ της οποίας η κλίση ισούται με την αρχική συνάρτηση, άρα:

${\vec {\mathrm {E} }}+{{\partial {\vec {\mathrm {A} }}} \over {\partial {t}}}=-\nabla {\phi }$

Από παραπάνω προκύπτει λοιπόν οι δύο εξισώσεις του Μάξγουελ που περιγράφουν το μαγνητικό πεδίο σαν συνάρτηση του ηλεκτρικού πεδίου. Επιβεβαιώνεται δηλαδή αυτό που γράφτηκε/ειπώθηκε στην αρχή του μαθήματος, ότι δηλαδή τα φαινόμενα του ηλεκτρισμού είναι αλληλένδετα με τα φαινόμενα του μαγνητισμού και η εμφάνιση του ενός συνεπάγεται πάντα την εμφάνιση του άλλου.

Αριθμητικό Δυναμικό

Πράγματι, το αριθμητικό δυναμικό φ είναι μοναδικό και μονοσήμαντα ορισμένο σε κάθε θέση. Η τιμή του σε κάθε θέση Ρ είναι σχετικό με την θέση αναφοράς, δηλαδή κάποια θέση του πεδίου που αυθαίρετα την ορίζουμε ως θέση μηδενικού δυναμικού.

Στην θέση Ρ', το αριθμητικό δυναμικό ορίζεται με την βοήθεια του τύπου:

$\phi _{\mathrm {P} }=\int _{\mathrm {P} '}^{\mathrm {P} }{\vec {\mathrm {E} }}\cdot {d{\vec {l}}}$

Πρέπει να σημειωθεί ότι η τιμή του αριθμητικού δυναμικού φ_ρ δεν εξαρτάται από την διαδρομή που θα ακολουθήσουμε κατά την παραπάνω ολοκλήρωση, σε αντίθεση με την ηλεκτρεγερτική δύναμη ${\mathcal {E}}$ που εξαρτάται από την διαδρομή που θα ακολουθήσουμε κατά την ολοκλήρωση ${\mathcal {E}}=\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }={\vec {\mathrm {B} }}\cdot d{\vec {l}}$

Εξίσωση Ampere

Η βασική εξίσωση που περιγράφει το μαγνητικό πεδίο είναι η εξίσωση του Ampere:

$\oint _{C}{\vec {\mathrm {B} }}{\vec {dl}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{{d(\int _{S}{\vec {E}}d{\vec {S}})} \over dt}$

διόρθωση : Ι και οχι J

ή στην διαφορική του μορφή:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\mathrm {B} }}=\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\partial {\vec {\mathrm {E} }} \over {\partial t}}$

Η παραπάνω μορφές είναι οι δύο μορφές τις οποίες "έγραψε" ο Μάξγουελ, απλά παρατηρώντας ότι τα φαινόμενα του ηλεκτρισμού και του μαγνητισμού είχα παρατηρηθεί πλήρως από τους προγενέστερους του, αλλά αυτός ήταν ο πρώτος που παρατήρησε την σύνδεση των τεσσάρων εξισώσεων.

Από τις παραπάνω εξισώσεις γίνεται φανερό ότι η έννοια του μαγνητικού πεδίου (μαγνητικής επαγωγής ${\vec {\mathrm {B} }}$) δεν είναι ανεξάρτητη από τη ύπαρξη ηλεκτρικού πεδίου (εντάσεως ${\vec {\mathrm {E} }}$). Παρατηρούμε επίσης ότι εμφανίζεται το γινόμενο $\epsilon _{0}\mu _{0}$ το οποίο εάν λάβουμε υπ'όψιν τις διαστάσεις τους, παρατηρούμε ότι το γινόμενο έχει διαστάσεις ταχύτητας. Αυτή ήταν μια πρώτη ένδειξη την εποχή του Μάξγουελ, ότι to φως είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Σήμερα έχει αποδειχθεί ότι $c^{2}={{1} \over {\epsilon _{0}\mu _{0}}}$ όπου $c={{1} \over {\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}=3\cdot 10^{8}{{m} \over {sec}}$ είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό.