Νόμος της παγκόσμιας έλξης

Ο Ισσακ Νεύτων (1643-1727) διατύπωσε τον νόμο της παγκόσμιας έλξης όπου σύμφωνα με αυτόν:

Δυο υλικά σημεία έλκονται μεταξύ τους με δύναμη που είναι αντιστρόφως ανάλογη της μεταξύ τους απόστασης και ανάλογη του γινομένου των μαζών τους.

Η δύναμη που ασκεί το σώμα 1 στο 2 είναι σε διανυσματική μορφή:

$${\vec {F}}_{12}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\hat {r}}\ \ \ (1)$$

όπου $m_{1}$και $m_{2}$οι βαρείες μάζες των σωμάτων 1 και 2 αντίστοιχα, που χαρακτηρίζουν τα σώματα ως προς την ιδιότητα που έχουν να έλκουν άλλα σώματα (βαρύτητα), r η μεταξύ τους απόσταση και ${\hat {r}}$ το μοναδιαίο διάνυσμα με προσανατολισμό από το σώμα 1 στο σώμα 2, και G η σταθερά της παγκόσμιας έλξης (ανεξάρτητη από τον χρόνο, έχει όμως διατυπωθεί και η άποψη ό,τι η σταθερά G μεταβάλλεται αμελητέα με την πάροδο των αιώνων). Στην εικόνα παρακάτω φαίνεται το διάνυσμα (F₁₂) της δύναμης που ασκεί το σώμα 1 στο σώμα 2.

Gravitationa Force from 1 to 2

Και για ένα σημείο αναφοράς Ο στον επίπεδο η σχέση (1) γίνεται:

$${\vec {F}}_{12}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}[{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}]$$

Βαρυτική δύναμη απο το 1 στο 2 και αντιστροφα

Ισχύει όμως:

$${\vec {F}}_{21}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}[{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}]$$

Όπως παρατηρείται εύκολα:

$${\vec {F}}_{12}+{\vec {F}}_{21}={\vec {0}}\ \ (1.1)$$

Η σχέση (1.1) είναι αποτέλεσμα του τρίτου αξιώματος του Νεύτωνα

"Οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο υλικών σημείων είναι ίσες κατά μέτρο και αντίθετες στην φορά και ενεργούν στην ευθεία που ενώνει τα σημεία αυτά"

Βαρυτικό πεδίο]

Το βαρυτικό πεδίο είναι ένα διανυσματικό πεδίο που εκφράζει την βαρυτική δύναμη που θα ασκούσε ένα σώμα (πηγή πεδίου) σε ένα άλλο, το οποίο μπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου, ανα μονάδα μάζας. Στην περίπτωση της βαρύτητας, το διάνυσμα του βαρυτικού πεδίου και το διάνυσμα της επιτάχυνσης λόγω της βαρύτητας ταυτίζονται (ενώ δεν συμβαίνει το ίδιο στο πεδίο Coulomb)

Το βαρυτικό πεδίο ορίζεται ώς:

$${\vec {g}}(r)={\frac {\vec {F}}{m}}=-G{\frac {M}{|{\vec {r}}|^{2}}}{\hat {r}}\Leftrightarrow {\vec {F}}(r)=m{\vec {g}}(r)\ \ (1.2)$$

Σύμφωνα με τα παραπάνω και όπως φαίνεται απο την σχέση (1.2) η διαστάσεις του βαρυτικού πεδίου είναι σε:

$$[|{\vec {g}}|]={\frac {[L]}{[T]^{2}}}=[L][T]^{-2}$$

Το βαρυτικό πεδίο είναι συντηρητικό πεδίο, δηλαδή το έργο της βαρυτικής δύναμης σε μία κλειστή διαδρομή ισούται με 0. Συνεπώς, θα υπάρχει βαθμωτή συνάρτηση V(r) όπου θα ισχύει:

$${\vec {g}}({\vec {r}})=-\nabla V({\vec {r}})$$

Απο όπου παίρνουμε:

$$V(r)=-G{\frac {M}{r}}$$

To V(r) ονομάζεται δυναμικό και έχει διαστάσεις ενέργειας ανά μονάδα μάζας.

$$[V]=[L]^{2}[T]^{-2}$$

Όρια του Αξιώματος]

O νόμος (1) ισχύει μόνο για υλικά σημεία και για σώματα με πεπερασμένες διαστάσεις άλλα με σφαιρική κατανομή της πυκνότητας. Επιπλέον, ισχύει με μεγάλη ακρίβεια για την μελέτη προβλημάτων μέσα σε μη ισχυρά βαρυτικά πεδία. Στην περίπτωση ισχυρών βαρυτικών πεδίων ισχύουν οι εξισώσεις πεδίου της γενικής θεωρίας της σχετικότητας του Eistein που δημοσιεύτηκαν το 1915.

Επεκτάσεις του Νόμου της παγκόσμιας έλξης]

Ο Νεύτωνας είχε σκεφθεί μια επέκταση στο αξίωμα (1). Εισήγαγε έναν όρο που περιλαμβάνει την παράμετρο ${\frac {1}{r^{3}}}$, προσπαθώντας να εξηγήσει την τροχιά της σελήνης. Έτσι κατέληξε στον τύπο:

$${\vec {F}}=-(G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}+B{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{3}}}){\hat {r}}$$

όπου B ήταν άλλη μια σταθερά (αμετάβλητη ως προς τον χρόνο).

Άλλες επεκτάσεις δημοσιεύτηκαν από τον Laplace το 1790 και τον Decombes το 1913.

Οι τύποι:

$${\vec {F}}=-k{\frac {m_{1}m_{2}e^{-ar}}{r^{2}}}{\hat {r}}\ \ (Laplace,1790)$$

και

$${\vec {F}}=-k{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}[1+{\frac {a}{r^{3}}}]{\hat {r}}\ \ (Decombes,1913)$$

Πηγές:

• Newton's law of universal gravitation, σελίδα στην Βικιπαίδεια, https://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_law_of_universal_gravitation
• "Θεωρητική Μηχανική, Τόμος Α' Νευτώνεια μηχανική, 3η έκδοση", Ιωάννης Δ. Χατζηδημητρίου, Εκδόσεις Γιαχούδη Θεσσαλονίκη 2000

14:38, 28 Δεκεμβρίου 2016 (UTC)