Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής σ' ένα διάστημα
[
α
,
β
]
⊂
R
:
f
(
x
)
≥
0
,
∀
x
∈
[
α
,
β
]
{\displaystyle \mathrm {[\alpha ,\;\beta ]\subset \mathbb {R} :\;f(x)\geq 0,\;\forall x\in [\alpha ,\;\beta ]} }
εμβαδόν (Ε ) της επιφάνειας που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = α και x = β .
Επειδή η f είναι συνεχής στο [α,β] παρουσιάζει μια ελάχιστη (μ ) και μια μέγιστη (Μ ) τιμές, για τις οποίες ισχύουν:
μ
≤
f
(
x
)
,
∀
x
∈
[
α
,
β
]
{\displaystyle \mathrm {\mu \leq f(x),\;\forall x\in [\alpha ,\beta ]} }
M
≥
f
(
x
)
,
∀
x
∈
[
α
,
β
]
{\displaystyle \mathrm {M\geq f(x),\;\forall x\in [\alpha ,\beta ]} }
Είναι φανερό ότι:
S
μ
≤
E
≤
S
M
{\displaystyle \mathrm {S_{\mu }\leq E\leq S_{M}} }
S
μ
=
μ
(
β
−
α
)
{\displaystyle \mathrm {S_{\mu }=\mu (\beta -\alpha )} }
S
M
=
M
(
β
−
α
)
{\displaystyle \mathrm {S_{M}=M(\beta -\alpha )} }
Έστω τώρα ένα σημείο
x
1
∈
[
α
,
β
]
,
x
1
=
α
+
β
2
{\displaystyle \mathrm {x_{1}\in [\alpha ,\;\beta ],\;x_{1}={\frac {\alpha +\beta }{2}}} }
f είναι συνεχής στο [α,β] είναι συνεχής και στα υποδιαστήματα [α,x1 ] και [x1 ,β]. ΄Αρα, όπως στο «βήμα 1ο», η f παρουσιάζει ελάχιστες (μ1 και μ2 ) και μέγιστες (Μ1 και Μ2 ) τιμές στα υποδιαστήματα [α,x1 ] και [x1 ,β], για τα οποία ισχύουν:
μ
1
≤
f
(
x
)
,
∀
x
∈
[
α
,
x
1
]
{\displaystyle \mathrm {\mu _{1}\leq f(x),\;\forall x\in [\alpha ,x_{1}]} }
μ
2
≤
f
(
x
)
,
∀
x
∈
[
x
1
,
β
]
{\displaystyle \mathrm {\mu _{2}\leq f(x),\;\forall x\in [x_{1},\beta ]} }
M
1
≥
f
(
x
)
,
∀
x
∈
[
α
,
x
1
]
{\displaystyle \mathrm {M_{1}\geq f(x),\;\forall x\in [\alpha ,x_{1}]} }
M
2
≥
f
(
x
)
,
∀
x
∈
[
x
1
,
β
]
{\displaystyle \mathrm {M_{2}\geq f(x),\;\forall x\in [x_{1},\beta ]} }
Είναι φανερό ότι:
S
μ
1
+
S
μ
2
≤
E
≤
S
M
1
+
S
M
2
{\displaystyle \mathrm {S_{\mu _{1}}+S_{\mu _{2}}\leq E\leq S_{M_{1}}+S_{M_{2}}} }
S
μ
1
=
μ
1
(
x
1
−
α
)
,
S
μ
2
=
μ
2
(
β
−
x
1
)
,
S
M
1
=
M
1
(
x
1
−
α
)
{\displaystyle \mathrm {S_{\mu _{1}}=\mu _{1}(x_{1}-\alpha ),\;S_{\mu _{2}}=\mu _{2}(\beta -x_{1}),\;S_{M_{1}}=M_{1}(x_{1}-\alpha )} }
S
M
2
=
M
2
(
β
−
x
1
)
{\displaystyle \mathrm {S_{M_{2}}=M_{2}(\beta -x_{1})} }
Όμοια χωρίζουμε το διάστημα [α,β] σε ν ίσα κομμάτια:[x0 ,x1 ], [x1 ,x2 ],... [xν-1 ,xν ] , όπου α = x0 < x1 <...< xν-1 < xν = β.
Η διαδικασία αυτή ονομάζεται «διαμέριση διαστήματος» . 
![{\displaystyle \mathrm {[\alpha ,\;\beta ]\subset \mathbb {R} :\;f(x)\geq 0,\;\forall x\in [\alpha ,\;\beta ]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f486dbabe10b9a1b6ce7f892e188874d0801e933)
![{\displaystyle \mathrm {\mu \leq f(x),\;\forall x\in [\alpha ,\beta ]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69410be1970e51010f00b6864e7ecf2614913fcc)
![{\displaystyle \mathrm {M\geq f(x),\;\forall x\in [\alpha ,\beta ]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abfe32db702dd3bdbeafe29db9bd5595860b716b)
![{\displaystyle \mathrm {x_{1}\in [\alpha ,\;\beta ],\;x_{1}={\frac {\alpha +\beta }{2}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b066ba89830d5d84f1f98cbcbb9650f9285fcd67)
![{\displaystyle \mathrm {\mu _{1}\leq f(x),\;\forall x\in [\alpha ,x_{1}]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e9c48762ad20c9fb507b521ac04424bdd61242)
![{\displaystyle \mathrm {\mu _{2}\leq f(x),\;\forall x\in [x_{1},\beta ]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fec3c9e2718da9f3649d6035568ccd858bddd80)
![{\displaystyle \mathrm {M_{1}\geq f(x),\;\forall x\in [\alpha ,x_{1}]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a341c0aad96065dbf9d7e81a3236cdc6dabc295)
![{\displaystyle \mathrm {M_{2}\geq f(x),\;\forall x\in [x_{1},\beta ]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df5bb550d1c390d8aec1b1541fbc47ac80b33bc)
