Πράξεις διανυσμάτων\Μέρος Α

Δύο διανύσματα μπορούν να συνδυαστούν μεταξύ τους. Δύο οποιαδήποτε προσανατολισμένα μεγέθη μπορούν να επιδράσουν ταυτόχρονα ή να επηρεάσουν ένα τρίτο μέγεθος που εξαρτάται τόσο από το μέτρο τους όσο και από τον προσανατολισμό τους.

Υποθετικός οδικός χάρτης με τις πιθανές δύο πορείες του αυτοκινήτου. Ανάλογα με το συνδυασμό προκύπτει και διαφορετικό μέρος.

Παράδειγμα 1:

Ο οδηγός ενός αυτοκινήτου θέλει πάει σε ένα μέρος. Διατρέχει μια λεοφόρο, ίσως χρειαστεί να στρίψει σε κάποιο σημείο σε ένα στενό και να συνεχίσει λίγο ακόμα. Κάθε διάνυσμα έχει μόνο έναν προσανατολισμό. Έτσι, ενώ η πορεία του αυτοκινήτου στο σύνολο της διαδρομής έχει ένα συγκεκριμένο προσανατολισμό τα δύο μέρη της πορείας του έχουν δύο διαφορετικούς προσανατολισμούς. Ο τελικός προσανατολισμός εξαρτάται και από τα μέτρα που διάνυσε σε κάθε κομμάτι της διαδρομής, σε άλλο μέρος θα έφτανε το αυτοκίνητο αν πήγαινε 100 μέτρα κατά τη λεοφόρο και 20 μέτρα κατά το στενό και σε άλλο μέρος θα πήγαινε αν προχωρούσε 20 μέτρα κατά τη λεοφόρο και 100 μέτρα κατά το στενό. Βέβαια στο παραπάνω παράδειγμα θεωρήσαμε ότι οι δρόμοι είναι ίσιοι.

Παράδειγμα 2:

Σε ένα ποτάμι που ρέει ορμητικά πέφτει ένας κορμός δέντρου. Η ροή του ποταμού μπορεί να περιγραφεί με διανύσματα, την ταχύτητα της κάθε περιοχής του νερού του ποταμού. Έστω ένα εφαρμοστό διάνυσμα που δείχνει τον προσανατολισμό του κορμού από τη ρίζα στην κορυφή με μήκος όσο το δέντρο και εφαρμογή τέτοια ώστε να είναι όλο πάνω στον κορμό. Αυτό το διάνυσμα μεταβάλλεται στο χώρο ως προς τον προσανατολισμό, ανάλογα με το πού βρίσκεται κάθε στιγμή ο κορμός και πώς ρέουν τα νερά γύρω του, δηλαδή ο συνδυσμός των διανυσμάτων των ταχυτήτων των γύρω από τον κορμό νερών επηρεάζει το διάνυσμα του κορμού.

Πρόσθεση διανυσμάτων

Άθροισμα δύο διανυσμάτων ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}$ είναι το διάνυσμα με αρχή την αρχή του ${\vec {\alpha }}$ και πέρας το πέρας του ${\vec {\beta }}$, αν το ${\vec {\beta }}$ εφαρμοστεί στο πέρας του ${\vec {\alpha }}$. Συμβολίζεται με ${\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }}$. Η πράξη αυτή ονομάζεται πρόσθεση των διανυσμάτων ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}$.

Παράδειγμα πρόσθεσης διανυσμάτων. Αν ο άνθρωπος κινιόταν αντίθετα από το τρένο θα ήταν ακίνητος ως προς το έδαφος.

Ο ορισμός καλύπτει τα εφαρμοστά και τα ελεύθερα διανύσματα.

Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δύο διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα. Ένα διάνυσμα που συμμετέχει σε ένα άθροισμα διανυσμάτων ονομάζεται προσθεταίος ή όρος της πρόσθεσης. Η πράξη αυτή έχει τις ίδιες ιδιότητες με την πρόσθεση των αριθμών:

• Αντιμεταθετική ιδιότητα: Το άθροισμα δύο διανυσμάτων δεν εξαρτάται από τη σειρά των δύο αρχικών διανυσμάτων.

Άσκηση: Αποδείξτε την αντιμεταθετική ιδιότητα

Έστω τα δύο διανύσματα τα ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}$. Έστω το πρώτο άθροισμα το ${\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }}$ και το δεύτερο το ${\vec {\beta }}+{\vec {\alpha }}$. Ο πρώτος προσθεταίος του πρώτου αθροίσματος είναι ίσος σε μήκος και παράλληλος με το δεύτερο προσθεταίο του δεύτερου αθροίσματος, άρα σύμφωνα με την ευκλείδια γεωμετρία σχηματίζουν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Υποχρεωτικά η μία από τις δύο άλλες πλευρές του παραλληλόγραμμου είναι ένας από τους άλλους προσθεταίους, άρα η τελευταία πλευρά του παραλληλόγραμμου είναι ο άλλος προσθεταίος. Επομένως, και τα δύο αθροίσματα αναπαρίστανται από το ίδιο ευθύγραμμο τμήμα τη διαγώνιο του παραλληλόγραμμου και έχουν την ίδια αρχή, άρα έχουν ίδια μέτρα, κατευθύνσεις και σημείο εφαρμογής, άρα είναι το ίδιο διάνυσμα, δηλαδή ${\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }}={\vec {\beta }}+{\vec {\alpha }}$

• Προσεταιριστική ιδιότητα: Το άθροισμα τριών διανυσμάτων δεν εξαρτάται από το ποιό ζεύγος θα υπολογιστεί πρώτα.

Άσκηση: Αποδείξτε την προσεταιριστική ιδιότητα

Έστω τα τρία διανύσματα τα ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }},{\vec {\gamma }}$. Έστω το διαδοχικό άθροισμα ${\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }}+{\vec {\gamma }}$, το οποίο αναπαρίσταται από τα μαύρα διανύσματα της εικόνας. Το διάνυσμα αυτού του διπλού αθροίσματος, έστω ${\vec {\delta }}$, έχει αρχή την αρχή του ${\vec {\alpha }}$ και πέρας το πέρας του ${\vec {\gamma }}$. Αν τα δύο διανύσματα ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}$ αντικατασταθούν ${\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }}$ δε θα αλλάξουν τα άκρα του ${\vec {\delta }}$, άρα ${\vec {\delta }}=({\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }})+{\vec {\gamma }}$. Παρομοίως, ${\vec {\delta }}={\vec {\alpha }}+({\vec {\beta }}+{\vec {\gamma }})$. Επομένως, $({\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }})+{\vec {\gamma }}={\vec {\alpha }}+({\vec {\beta }}+{\vec {\gamma }})$ που είναι η ζητούμενη σχέση. Με παρόμοιο τρόπο η ιδιότητα αποδεικνύεται για οποιοδήποτε πλήθος προσθεταίων.

Σημειωση

Οι δύο παραπάνω ιδιότητες επαγωγικά εφαρμοζόμενες επιτρέπουν την αναγραφή ενός αθροίσματος πολλών διανυσμάτων να έχει νόημα χωρίς προσιορισμό της σειράς με τον οποίο θα γίνουν οι προσθέσεις, δηλαδή το άθροισμα ${\vec {\alpha _{1}}}+{\vec {\alpha _{2}}}+\ldots +{\vec {\alpha _{\nu }}}$ είναι ένα και μοναδικό ανεξάρτητα τη σειρά των πράξεων και των όρων του αθροίσματος.

Πρόχειρη απόδειξη της σημείωσης
Οποιοδήποτε τέτοιο άθροισμα με συγκεκριμένους όρους συγκεκριμένης σειράς μπορεί να γραφεί χωρίς παρενθέσεις, γιατί προσδιορίζει ακριβώς ένα διάνυσμα. Αν η σειρά των όρων είναι διαφορετική αυτοί μπορούν να ταξινομηθούν σωστά με διαδοχικές αντιμεταθέσεις εφαρμόζοντας έναν αλγόριθμο ταξινόμησης φυσαλίδας.

Αντίθετα διανύσματα

• Ύπαρξη αντίθετου στοιχείου: Το άθροισμα δύο αντίθετων διανυσμάτων είναι ${\vec {0}}$, αφού αν το πέρας του ενός εφαρμοστεί στην αρχή του άλλου, τότε το πέρας του άλλου θα συμπέσει στην αρχή του ενός.

Προφανώς ισχύει η σχέση:

${\vec {\alpha }}={\vec {\beta }}\Rightarrow {\vec {\alpha }}+{\vec {\gamma }}={\vec {\beta }}+{\vec {\gamma }}$

δηλαδή αν σε ίσα διανύσματα προτεθεί το ίδιο διάνυσμα, τότε τα αθροίσματα θα είναι ίσα.

Συνισταμένη και συνιστώσες

Κάθε διάνυσμα μπορεί να προσδιοριστεί ως άθροισμα συγκεκριμένου αριθμού διανυσμάτων. Τα διανύσματα αυτά ονομάζονται συνιστώσες, ενώ το άθροισμά τους συνισταμένη. Η διαδικασία εύρεσης των συνιστωσών ονομάζεται ανάλυση διανύσματος, ενώ η εύρεση της συνισταμένης σύνθεση διανυσμάτων.

Αφαίρεση διανυσμάτων

Μέθοδος αφαίρεσης διανυσμάτων.

Αφαίρεση διανυσμάτων ονομάζεται η πρόσθεση ενός διανύσματος με τον αντίθετο ενός άλλου διανύσματος. Το αντίθετο διάνυσμα του ${\vec {\alpha }}$ συμβολίζεται με $-{\vec {\alpha }}$. Ισχύει η σχέση ${\vec {a}}-{\vec {\beta }}={\vec {\alpha }}+(-{\vec {\beta }})$

διελκυστίνδα

Όπως και στους αριθμούς το αντίθετο διάνυσμα δηλώνει αντίθετη δράση. Για παράδειγμα αν σε μια διελκυστίνδα συμβολίσουμε με διανύσματα τις προσπάθειες των δύο πλευρών το τελικό αποτέλεσμα προβλέπεται από την αφαίρεση των δύο προσπαθειών.

Προσοχη!

Επειδή η έννοια του διανύσματος περιέχει την έννοια της κατεύθυνσης η αφαίρεση αντιμετωπίζεται πλήρως ως πρόσθεση. Αρκεί να προσέξουμε να αντικαταστήσουμε τα διανύσματα που έχουν αρνητικό πρόσημο (τα αντίθετα διανύσματα) με τα αντίστοιχα με θετικό πρόσημο.

Προφανώς ισχύει η σχέση:

${\vec {\alpha }}={\vec {\beta }}\Rightarrow {\vec {\alpha }}-{\vec {\gamma }}={\vec {\beta }}-{\vec {\gamma }}$

όπως και στην πρόσθεση.

Άσκηση: Αποδείξτε τη σχέση ${\vec {\alpha }}={\vec {\beta }}\Leftrightarrow {\vec {\alpha }}+{\vec {\gamma }}={\vec {\beta }}+{\vec {\gamma }}$
Εικόνα	Ευθύ	Αντίστροφο
	έχει αναφερθεί παραπάνω	${\vec {\alpha }}+{\vec {\gamma }}={\vec {\beta }}+{\vec {\gamma }}\Rightarrow {\vec {\alpha }}+{\vec {\gamma }}-{\vec {\gamma }}={\vec {\beta }}+{\vec {\gamma }}-{\vec {\gamma }}\Rightarrow {\vec {\alpha }}={\vec {\beta }}$

Ισχύει η σχέση: ${\vec {\alpha }}={\vec {\beta }}-{\vec {\gamma }}\Leftrightarrow {\vec {\alpha }}+{\vec {\gamma }}={\vec {\beta }}$

Άσκηση: Αποδείξτε τη σχέση ${\vec {\alpha }}={\vec {\beta }}-{\vec {\gamma }}\Leftrightarrow {\vec {\alpha }}+{\vec {\gamma }}={\vec {\beta }}$
Εικόνα	Απόδειξη
	${\vec {\alpha }}={\vec {\beta }}-{\vec {\gamma }}\Leftrightarrow {\vec {\alpha }}+{\vec {\gamma }}={\vec {\beta }}-{\vec {\gamma }}+{\vec {\gamma }}\Leftrightarrow {\vec {\alpha }}+{\vec {\gamma }}={\vec {\beta }}+{\vec {0}}\Leftrightarrow {\vec {\alpha }}+{\vec {\gamma }}={\vec {\beta }}$

Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων

Στην αναλυτική γεωμετρία ορίζονται τρεις πολλαπλασιασμοί σχετικά με τα διανύσματα. Ο ένας σχετίζεται με τους αριθμούς και οι άλλοι δύο αφορούν τα ίδια τα διανύσματα, το αποτέλεσμα του ενός είναι αριθμός και του αποτέλεσμα του άλλου διάνυσμα. Στους μιγαδικούς αριθμούς που σχετίζονται με τα διανύσματα υπάρχει και τέταρτος πολλαπλασιασμός, ενώ η έννοια του διανύσματος και του αριθμού συγχέονται.

Εδώ αναλύεται ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός, για τα άλλα δύο είδη πολλαπλασιασμών πατήστε εδώ

Βαθμωτός πολλαπλασιασμός του ${\vec {\alpha }}$ με το 3.

Βαθμωτός πολλαπλασιασμός

Βαθμωτό γινόμενο του διανύσματος ${\vec {\alpha }}$ με τον πραγματικό αριθμό λ συμβολίζεται με $\lambda {\vec {\alpha }}$ και ονομάζεται το διάνυσμα που έχει μέτρο $|\lambda |\cdot |{\vec {\alpha }}|$ και είναι ομόρροπο του ${\vec {\alpha }}$, αν ο αριθμός λ είναι θετικός, και αντίρροπο του ${\vec {\alpha }}$, αν ο αριθμός λ είναι αρνητικός. Αν ο αριθμός λ είναι 0, τότε το βαθμωτό γινόμενο είναι το ${\vec {0}}$.

Διαισθητικά αυτός ο πολλαπλασιασμός αντιστοιχεί στον αριθμό των προσθέσεων ενός διανύσματος με τον εαυτό του. Για παράδειγμα, για να ανέβει ένας ανελκυστήρας από το εισόγειο στον τρίτο όροφο θα εκτελέσει τρεις φορές την κίνηση από το ισόγειο στον πρώτο όροφο, δηλαδή θα εκτελέσει κίνηση τόση όση από το εισόγειο στον πρώτο όροφο συν την κίνηση από το δεύτερο όροφο στον τρίτο όροφο συν την κίνηση από το δεύτερο όροφο στον τρίτο. Φυσικά το παράδειγμα έχει νόημα αν οι όροφοι της πολυκατοικίας έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Στο ίδιο παράδειγμα αρνητική κίνηση θα μπορούσε να χαρακτηριστεί η κάθοδος και μισή αν ο ανελκυστήρας κολήσει στη μέση δύο ορόφων.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι τα δύο διανύσματα ${\vec {\alpha }}$, $\lambda {\vec {\alpha }}$ είναι συνευθειακά.

Δύο συνευθειακά διανύσματα ${\vec {\alpha }}$, ${\vec {\beta }}$ με ${\vec {\beta }}\neq {\vec {0}}$ είναι παράλληλα αν και μόνο αν υπάρχει πραγματικός αριθμός λ τέτοιος, ώστε ${\vec {\alpha }}=\lambda {\vec {\beta }}$.

Άσκηση: Αποδείξτε την παραπάνω ισοδυναμία
Ευθύ	Αντίστροφο
Για $|\lambda |={\frac {|\alpha |}{|\beta |}}$ έχω ένα διάνυσμα του οποίου το μέτρο είναι $|\lambda ||{\vec {\beta }}|={\frac {|\alpha |}{|\beta |}}|{\vec {\beta }}|=|\alpha |$. Το διάνυσμα ${\vec {\alpha }}$ είται είναι αντίρροπο ή ομόρροπο του $vec{\beta }$, ή λ=0. Αν είναι αντίρροπο τότε $\lambda =-{\frac {|\alpha |}{|\beta |}}$, αλλιώς αν είναι ομόρροπο $\lambda ={\frac {|\alpha |}{|\beta |}}$. Επομένως, υπάρχει σε κάθε περίπτωση πραγματικός αριθμός λ τέτοιος, ώστε ${\vec {\alpha }}=\lambda {\vec {\beta }}$.	έχει αναφερθεί παραπάνω

Βαθμωτός πολλαπλασιασμός με τις τιμές 2 και -1.

Οι ιδιότητες αυτού του πολλαπλασιασμού είναι παρόμοιες με του πολλαπλασιασμού αριθμών. Οι ιδιότητες του βαθμωτού πολλαπλασιασμού είναι:

• $(-1){\vec {\alpha }}=-{\vec {\alpha }}$
• ${\vec {\beta }}\lambda =\lambda {\vec {\beta }}$
• Προσεταιριστική: $(\lambda \mu ){\vec {\alpha }}=\lambda (\mu {\vec {\alpha }})$

Άσκηση: Αποδείξτε την προσεταιριστική ιδιότητα
Λύση
Το μέτρο του διανύσματος $(\lambda \mu ){\vec {\alpha }}$ είναι $|\lambda ||\mu ||{\vec {\alpha }}|$, ενώ το μέτρο του $\lambda (\mu {\vec {\alpha }})$ είναι $|\lambda ||\mu ||{\vec {\alpha }}|$, δηλαδή τα δύο μέτρα είναι ίσα. Αν λ>0 και μ>0, τότε τα διανύσματα $\mu {\vec {\alpha }}$, $\lambda (\mu {\vec {\alpha }})$ και $(\lambda \mu ){\vec {\alpha }}$ είναι ομόρροπα, άρα $(\lambda \mu ){\vec {\alpha }}$ είναι ομόρροπο του $\lambda (\mu {\vec {\alpha }})$. Αν λ<0 και μ<0, τότε το διάνυσμα $\mu {\vec {\alpha }}$ είναι αντίρροπο του ${\vec {\alpha }}$ και το $\lambda (\mu {\vec {\alpha }})$ αντίρροπο του $\mu {\vec {\alpha }}$, ενώ το $(\lambda \mu ){\vec {\alpha }}$ είναι ομόρροπο του ${\vec {\alpha }}$, άρα $(\lambda \mu ){\vec {\alpha }}$ είναι ομόρροπο του $\lambda (\mu {\vec {\alpha }})$. Αν λ<0 και μ>0, τότε το διάνυσμα $\mu {\vec {\alpha }}$ είναι ομόρροπο του ${\vec {\alpha }}$ και το $\lambda (\mu {\vec {\alpha }})$ αντίρροπο του $\mu {\vec {\alpha }}$, ενώ το $(\lambda \mu ){\vec {\alpha }}$ είναι αντίρροπο του ${\vec {\alpha }}$, άρα $(\lambda \mu ){\vec {\alpha }}$ είναι ομόρροπο του $\lambda (\mu {\vec {\alpha }})$. Αν λ<0 και μ>0, τότε το διάνυσμα $\mu {\vec {\alpha }}$ είναι αντίρροπο του ${\vec {\alpha }}$ και το $\lambda (\mu {\vec {\alpha }})$ ομόρροπο του $\mu {\vec {\alpha }}$, ενώ το $(\lambda \mu ){\vec {\alpha }}$ είναι αντίρροπο του ${\vec {\alpha }}$, άρα $(\lambda \mu ){\vec {\alpha }}$ είναι ομόρροπο του $\lambda (\mu {\vec {\alpha }})$. Σε κάθε περίπτωση, λοιπόν, το $(\lambda \mu ){\vec {\alpha }}$ είναι ομόρροπο του $\lambda (\mu {\vec {\alpha }})$, άρα $(\lambda \mu ){\vec {\alpha }}=\lambda (\mu {\vec {\alpha }})$.

• Επιμεριστική:

1. $\lambda ({\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }})=\lambda {\vec {\alpha }}+\lambda {\vec {\beta }}$

Άσκηση: Αποδείξτε την παραπάνω προσεταιριστική ιδιότητα
Εικόνα	Λύση
	Η διάταξη των διανυσμάτων ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }},{\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }}$ δημιουργεί ένα τρίγωνο. Στο όμοιο σχήμα με λόγο ομοιότητας ως προς το πρώτο ίσο με $|\lambda |$ ισχύει $|\lambda |({\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }})=|\lambda |{\vec {\alpha }}+|\lambda |{\vec {\beta }}$. Αν λ>0, τότε η σχέση γίνεται $\lambda ({\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }})=\lambda {\vec {\alpha }}+\lambda {\vec {\beta }}$. Αν λ<0, τότε αντικαθιστώντας το κάθε διάνυσμα με το αντίθετό του προκύπτει ότι $|\lambda |((-{\vec {\alpha }})+(-{\vec {\beta }}))=|\lambda |(-{\vec {\alpha }})+|\lambda |(-{\vec {\beta }})\Leftrightarrow \lambda ({\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }})=\lambda {\vec {\alpha }}+\lambda {\vec {\beta }}$.

1. $(\mu +\lambda ){\vec {\alpha }}=\mu {\vec {\alpha }}+\lambda {\vec {\alpha }}$

Άρα $(\mu +\lambda )({\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }})=\mu {\vec {\alpha }}+\lambda {\vec {\alpha }}+\mu {\vec {\beta }}+\lambda {\vec {\beta }}$

Αν για δύο διανύσματα ισχύει ${\vec {\alpha }}=\lambda {\vec {\beta }}$, τότε ο αριθμός λ είναι μοναδικός.

Απόδειξη

Έστω ότι υπάρχει και δεύτερος πραγματικός αριθμός μ διαφορετικός του λ τέτοιος, ώστε ${\vec {\alpha }}=\mu {\vec {\beta }}$. Είναι ${\vec {0}}={\vec {\alpha }}-{\vec {\alpha }}=\lambda {\vec {\beta }}-\mu {\vec {\beta }}=(\lambda -\mu ){\vec {\beta }}$. Το μέτρο του $(\lambda -\mu ){\vec {\beta }}$ είναι $|(\lambda -\mu )||{\vec {\beta }}|$ και του ${\vec {0}}$ είναι 0, άρα $|(\lambda -\mu )||{\vec {\beta }}|=0\Leftrightarrow \|(\lambda -\mu )|=0\Leftrightarrow \lambda =\mu$, γιατί $|{\vec {\beta }}|\neq 0$. Αυτό είναι άτοπο, γιατί υποτέθηκε ότι $\mu \neq \lambda$, άρα ο αριθμός λ είναι μοναδικός.

Σημειωση

Το διάνυσμα ${\frac {1}{\lambda }}{\vec {\alpha }}$ συμβολίζεται με ${\frac {\vec {\alpha }}{\lambda }}$.

Το μοναδιαίο διάνυσμα του ${\vec {\alpha }}$.

Το διάνυσμα ${\frac {\vec {\alpha }}{|{\vec {\alpha }}|}}$, όπου ${\vec {\alpha }}$ μη μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται μοναδιαίο διάνυσμα κατά την κατεύθυνση του ${\vec {\alpha }}$ και συμβολίζεται με ${\hat {\alpha }}$.

Ταμπέλα προσανατολισμού ή ταμπέλα μοναδιαίων διανυσμάτων όπως θα μπορούσε να πει κάποιος μαθηματικός.

Το μοναδιαίο διάνυσμα είναι το διάνυσμα με μέτρο 1 ομόρροπο του ${\vec {\alpha }}$. Το μοναδιαίο διάνυσμα είναι ένας φορέας κατεύθυνσης, γιατί εμπεριέχει το στοιχείο της κατεύθυνσης, ενώ το μέτρο του είναι ουδέτερο (το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού αριθμών). Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την προσθήκη του χαρακτηριστικού της κατεύθυνσης σε οποιοδήποτε μέγεθος σε μαθηματικούς τύπους, όπως οι μονάδες μέτρησεις προσθέτουν τα δικά τους χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα στην καθημερινή ζωή λέμε πήγαινε 5 μέτρα αριστερά, όπου εδώ το αριστερά προσδιορίζει κατεύθυνση, αυτή ακριβώς είναι η λειτουργία των μοναδιαίων διανυσμάτων στους μαθηματικούς τύπους.

Επιπλέον ισχύουν και οι εξής ιδιότητες:

• $1{\vec {\alpha }}={\vec {\alpha }}$
• $\lambda {\vec {\beta }}={\vec {0}}\Leftrightarrow |{\vec {\beta }}|={\vec {0}}\;{\acute {\eta }}\;\lambda =0$

Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός και η πρόσθεση είναι οι δύο πράξεις που χαρακτηρίζουν τους διανυσματικούς χώρους. Μεταξύ των άλλων ιδιοτήτων που προκύπτουν είναι και η παρακάτω:

Κάθε διάνυσμα ενός επίπεδου δύο συγκεκριμένων μη μηδενικών μη παράλληλων διανυσμάτων γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των δύο διανυσμάτων, δηλαδή αν το διάνυσμα ${\vec {\gamma }}$ ανήκει στο επίπεδο των μη παράλληλων μη μηδενικών διανυσμάτων ${\vec {\alpha }}$ και ${\vec {\beta }}$, τότε υπάρχουν μοναδικοί αριθμοί κ, λ τέτοιοι, ώστε ${\vec {\gamma }}=\kappa {\vec {\alpha }}+\lambda {\vec {\beta }}$. Η ιδιότητα αυτή είναι χαρακτηριστική των διανυσματικών χώρων, τα διανύσματα ${\vec {\alpha }}$ και ${\vec {\beta }}$ ονομάζονται γραμμικώς ανεξάρτητα.

Άσκηση: Αποδείξτε την παραπάνω ιδιότητα

Έστω ότι υπάρχει και δεύτερο ζεύγος πραγματικών αριθμών μ, ν διαφορετικού του προηγούμενου τέτοιου, ώστε ${\vec {\gamma }}=\mu {\vec {\alpha }}+\nu {\vec {\beta }}$. Είναι ${\vec {0}}={\vec {\gamma }}-{\vec {\gamma }}=(\kappa {\vec {\alpha }}+\lambda {\vec {\beta }})-(\mu {\vec {\alpha }}+\nu {\vec {\beta }})=(\kappa -\mu ){\vec {\alpha }}+(\lambda -\nu ){\vec {\beta }}\Leftrightarrow (\kappa -\mu ){\vec {\alpha }}=(\nu -\lambda ){\vec {\beta }}$. Αν κ-μ ισούται με μηδέν, τότε λ-ν=0 που είναι άτοπο, γιατί τα δύο ζεύγη αριθμών δεν είναι διαφορετικά. Αλλιώς ισχύει ${\vec {\alpha }}={\frac {(\nu -\lambda )}{(\kappa -\mu )}}{\vec {\beta }}$, δηλαδή τα δύο διανύσματα ${\vec {\alpha }}$ και ${\vec {\beta }}$ είναι μεταξύ τους παράλληλα που είναι άτοπο. Λοιπόν, σε κάθε περίπτωση η ύπαρξη ζεύγους διαφορετικού του πρώτου που ικανοποιεί την ίδια ιδιότητα είναι άτοπη, δηλαδή υπάρχουν μοναδικοί αριθμοί κ, λ τέτοιοι, ώστε ${\vec {\gamma }}=\kappa {\vec {\alpha }}+\lambda {\vec {\beta }}$, αν ${\vec {\alpha }}$ και ${\vec {\beta }}$ μη παράλληλα.

(συνεχίζεται στο μέρος Β)

Ασκήσεις

Ερωτήσεις κατανόησης

• Με ποιόν αριθμό χρειάζεται να πολλαπλασιαστεί το διάνυσμα ${\vec {\alpha }}$για να προκύψει το αντίθετό του;

Αποδεικτικές ασκήσεις

• Αποδείξτε τις ιδιότητες:
  • $1{\vec {\alpha }}={\vec {\alpha }}$
  • $(-1){\vec {\alpha }}=-{\vec {\alpha }}$
  • $\lambda {\vec {\beta }}={\vec {0}}\Leftrightarrow |{\vec {\beta }}|={\vec {0}}\;{\acute {\eta }}\;\lambda =0$
• Πώς εκφράζεται η διπλή τριγωνική ανισότητα στην αναλυτική γεωμετρία; Πότε ισχύουν τα ίσον;

μετάβαση στο μέρος Β