Πράξεις με μήτρες
Επιστροφή σε Γραμμική Άλγεβρα.
Πρόσθεση και κλιμάκωση
επεξεργασία| Έστω α,β μήτρες τύπου . Το άθροισμα των α,β είναι μήτρα ίδιου τύπου c, όπου το i-στό στοιχείο της c είναι το άθροισμα των i-στων στοιχείων των α,β. |
Για παράδειγμα:
Το άθροισμα οποιουδήποτε πίνακα με τον μηδενικό είναι ο ίδιος ο πίνακας. Για παράδειγμα:
| Έστω α μήτρα τύπου . Κλιμάκωση του α κατά λ είναι μήτρα ίδιου τύπου c, όπου το στοιχείο στη θέση i είναι το στοιχείο του α της ίδιας θέσης πολλαπλασιασμένη κατά λ. |
Για παράδειγμα:
Γινόμενο πινάκων
επεξεργασία| Έστω a,b πίνακες και αντίστοιχα. Γινόμενο των a και b είναι μήτρα c , όπου το στοιχείο cij ισούται με . |
Πρακτικά για την εύρεση του γινομένου, για κάθε στοιχείο:
- Πολλαπλασιάζουμε την αντίστοιχη γραμμή του πρώτου με την αντίστοιχη στήλη του δεύτερου.
- Μετά αθροίζουμε όλα τα γινομενα.
Το άθροισμα είναι το στοιχείο που υπολογίζουμε.
Για παράδειγμα:
Για τον υπολογισμό του στοιχείου -10 του αποτελέσματος τα βήματα είναι τα εξής.
- Το στοιχείο είναι στην 3η γραμμή, 2η στήλη.
- Πολλαπλασιάζουμε την 3η γραμμή του πρώτου πίνακα με τη 2η στήλη του δεύτερου πίνακα και είναι:
- Προσθέτουμε τους όρους: -12+2=-10
Άρα το υπολογισταίο στοιχείο ισούται με -10.
Προσοχή! Ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός, συνήθως .
Το γινόμενο οποιουδήποτε με τον μηδενικό πίνακα, είναι μηδενικός πίνακας.
Για παράδειγμα:
| Μοναδιαίος πίνακας είναι διαγώνιος πίνακας όπου κάθε στοιχείο της διαγωνίου του είναι 1. Συμβολίζεται με I. |
Παράδειγμα μοναδιαίου:
Το γινόμενο του μοναδιαίου πίνακα με οποιονδήποτε άλλο πίνακα είναι ο ίδιος ο πίνακας. Για παράδειγμα:
| Ύψωση στον φυσικό n>1 ενός πίνακα Α είναι ο πίνακας . Επίσης, ορίζεται . |
| Αντίστροφος πίνακας ενός πίνακα Α είναι ο πίνακας για τον οποίον το γινόμενό του με τον Α ισούται με τον μοναδιαίο. Συμβολίζεται με .
Ύψωση στην -n, όπου n>1 φυσικός ενός πίνακα Α είναι ο . Ύψωση στο 0 ενός πίνακα Α είναι ο μοναδιαίος |
Ισχύει:
Για παράδειγμα ο αντίστροφος του είναι ο γιατί:
Επειδή ο πολλαπλασιασμός δεν είναι αντιμεταθετικός δεν ορίζεται διαίρεση πινάκων.
Ερμιτιανός
επεξεργασία| Ανάστροφος πίνακας είναι ο πίνακας, όπου το στοιχείο της i-στης γραμμής και j-στης στήλης του αρχικού είναι στη j-στη γραμμή και i-στη στήλη. Συμβολίζεται με ύψωση στην Τ. |
Πρακτικά ο ανάστροφος πίνακας είναι η περιστροφή του πίνακα κατά 180° γύρω από την κύρια διαγώνιό του. Για παράδειγμα
| Συμμετρικός πίνακας είναι ο πίνακας που ισούται με τον ανάστροφό του.
Αντισυμμετρικός πίνακας είναι ο πίνακας που ισούται με τον ανάστροφό του επί -1. |
| Ερμιτιανός συζυγής πίνακας είναι ο αναστροφοσυζυγής πίνακας. |
Αν ο πίνακας έχει ως στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τότε ο ερμιτιανός ταυτίζεται με τον ανάστροφο.
| Αυτοπροσαρτημένος πίνακας είναι ο πίνακας που ισούται με τον ερμιτιανό του. |
Ίχνος και ορίζουσα
επεξεργασία| Ίχνος πίνακας είναι πίνακας το άθροισμα των στοιχείων της διαγωνίου. Το ίχνος του Α συμβολίζεται με tr(A). |
Για παράδειγμα:
| Ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα ως προς γραμμή (ή στήλη) είναι το άθροισμα των γινομένων του κάθε στοιχείου της γραμμής (ή στήλης) επί την ορίζουσα του υποπίνακα που προκύπτει αν παραληφθεί η γραμμή (ή στήλη) και η στήλη (ή γραμμή) που αντιστοιχεί στο στοιχείο. πίνακας το άθροισμα των στοιχείων της διαγωνίου επί το -1 στο άθροισμα του δείκτη γραμμής και στήλης. Η ορίζουσα πίνακα ενός μόνο στοιχείου ισούται με το στοιχείο. Η ορίζουσα του α συμβολίζεται με |
Ο υπολογισμός της ορίζουσας γίνεται πρακτικά ως εξής:
- Επιλέγεται μια πλευρά του πίνακα. Λέγεται ότι η ορίζουσα ανοίγεται ως προς την πλευρά.
- Σε κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται πρόσημα εναλλάξ. Το πρώτο στοιχείο λαμβάνει το πρόσημο +.
- Για κάθε στοιχείο της πλευράς:
- Από τον αρχικό παραλείπεται η πλευρά. Επιπλέον, υπάρχει μια στήλη ή γραμμή, κάθετη στην πλευρά στην οποία βρίσκεται το στοιχείο. Παραλείπεται και αυτή.
- Τα κομμάτια που παραμένουν σχηματίζουν έναν υποπίνακα. Υπολογίζεται η ορίζουσα του υποπίνακα.
- Η ορίζουσα πολλαπλασιάζεται με το πρόσημο του στοιχείου.
- Αθροίζονται όλα τα γινόμενα.
Για παράδειγμα:
