Πραγματικοί αριθμοί

Πραγματικοί αριθμοί είναι υπερσύνολο των ρητών αριθμών στο οποίο μεταφέρονται όλες οι ιδιότητες των ρητών, εκτός της περατότητας του συστήματος γραφής τους, ενώ έχουν επιπλέον την ιδιότητα της πληρότητας:

Σε κάθε φραγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών υπάρχει πραγματικός αριθμός που είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του (suprenum).

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με $\mathbb {R}$. Οι πραγματικοί αριθμοί που δεν είναι ρητοί ονομάζονται άρρητοι αριθμοί, ενώ όσοι δεν είναι λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων με ρητούς συντελεστές ονομάζονται υπερβατικοί αριθμοί.

Παρατήρηση:

Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών θυσιάστηκε η ιδιότητα της καλής γραφής των ρητών, και αποκτήθηκε η ιδιότητα της ύπαρξης ελαχίστου άνω φράγματος. Συνήθως ένας πραγματικός αριθμός που δεν είναι ρητός συμβολίζεται με ένα γράμμα, δηλαδή δε χρησιμοποιείται το σύστημα γραφής των ρητών, το οποίο μπορεί να τους προσδιορίσει απόλυτα.

Επομένως στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ισχύουν όλες οι γνωστές ιδιότητες των πράξεων.

Η Κατασκευή των Πραγματικών Αριθμών

Οι πραγματικοί αριθμοί δύνανται να κατασκευαστούν με βάση το $\mathbb {Q}$ με διάφορες μεθόδους. Ορισμένες εξ αυτών είναι:

• οι τομές Dedekind

O χωρισμός όλων των ρητών σε δύο τάξεις που είναι διατεταγμένες έτσι ώστε όλοι οι ρητοί της πρώτης τάξης να είναι μικρότεροι από όλους τους ρητούς της δεύτερης τάξης αποτελεί μία τομή του Dedekind (1872). Τώρα, σε κάθε τομή Dedekind το σύμβολο (X,Ψ) αντιστοιχεί σε ένα από τα ακόλουθα:

• τον μεγαλύτερο αριθμό της τάξης (X), ο οποίος και ανήκει στην τάξη (X), οπότε ο (X,Ψ) είναι ρητός.
• τον μικρότερο αριθμό της τάξης (Ψ), ο οποίος και ανήκει στην τάξη (Ψ), οπότε ο (X,Ψ) είναι και πάλι ρητός.
• στο νέο αριθμό (X,Ψ) που είναι μεγαλύτερος όλων των ρητών της (X) και μικρότερος όλων της (Ψ), όταν δεν υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός στην τάξη (X) ούτε μικρότερος στην τάξη (Ψ). Αυτός ο νέος αριθμός λέγεται άρρητος.

Όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν με τομές Dedekind , οι ρητοί (που ανήκουν στη Χαμηλή ή στην Ψηλή τάξη) και οι άρρητοι (που δεν ανήκουν στη Χαμηλή ή στην Ψηλή τάξη), λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Οι πραγματικοί αριθμοί κληρονομούν τις πράξεις που έχουμε ορίσει στους ρητούς καθώς και τη διάταξη. Έχουν όμως πληρότητα και τα “κενά” που εντοπίσαμε στους ρητούς εξαλείφονται πλήρως. Π.χ. μεταξύ δύο ρητών υπάρχει πάντα άρρητος αριθμός, και μεταξύ δύο αρρήτων υπάρχει πάντα ρητός (απόδειξη αργότερα). Αυτό αποτυπώνεται στο βασικό αξίωμα της πληρότητας των πραγματικών αριθμών. Με το αξίωμα βεβαιώνεται ότι όλες οι τομές ρητών αριθμών ορίζουν πραγματικούς αριθμούς.

• οι ακολουθίες Cauchy.

Θεωρούμε τις ακολουθίες Cauchy στον $\mathbb {Q}$ και ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας: Δύο ακολουθίες Cauchy (α_ν) και (β_ν) είναι ισοδύναμες αν η διαφορά τους τείνει στο μηδέν, δηλαδή αν για κάθε ρητό ε>0 υπάρχει φυσικός Ν, τέτοιος ώστε |α_ν - β_ν|<ε για κάθε ν>Ν. To $\mathbb {R}$ κατασκευάζεται από το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας.

Ευκλείδεια γεωμετρία

Με βάση τους πραγματικούς αριθμούς και τους διανυσματικούς χώρους μπορεί να αναπαραχθεί η ευκλείδεια γεωμετρία.

Έστω ορθοκανονικός τρισδιάστατους διανυσματικός χώρος επί των πραγματικών αριθμών. Αυτός είναι ένας ευκλείδειος γεωμετρικός χώρος:

• σημείο: Ορίζεται το κάθε διάνυσμα Ρ που ανήκει στο χώρο.
• ευθεία: Ορίζεται το σύνολο των σημείων Ρ που ικανοποιούν την ιδιότητα det|(Ρ-Ρ₀),λ|=0, όπου Ρ₀ και λ σταθερά διανύσματα του χώρου.
• επίπεδο: Ορίζεται το σύνολο των σημείων που ικανοποιούν την ιδιότητα (Ρ-Ρ₀)•λ=0

Τότε αποδεικνύονται με διανυσματικό λογισμό όλα τα αξιώματα της ευκλείδειας γεωμετρίας.

Ερωτήσεις

Μερικά πεδία έρευνας σχετικά με τη φύση των πραγματικών αριθμών. Μπορείτε να τα συζητήσετε ή να τα απαντήσετε στα πλαίσια του Βικιεπιστημίου.

• Υπάρχει αριθμητικό σύστημα που να περιγράφει με σαφήνεια και ακρίβεια τους πραγματικούς αριθμούς;

• Αποδεικνύεται όντως ότι ο παραπάνω χώρος ικανοποιεί όλα τα αξιώματα της ευκλείδειας γεωμετρίας;

Ίσως αν φανταστούμε ένα τρισορθοκανονικό σύστημα αναφοράς.

• Τι συμπεράσματα μπορούν να προκύψουν αν αντί να φανταστούμε ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων αντί για ένα ορθοκανονικό;

• Υπάρχει ουσιαστική σχέση μεταξύ των αριθμών και της γεωμετρίας;

• Γιατί η ευκλείδεια γεωμετρία δε θεμελιώθηκε στους πραγματικούς αριθμούς εξαρχής;

• Η δόμηση της ευκλείδειας γεωμετρίας από τους πραγματικούς αριθμούς είναι σωστή ή υπάρχουν εν δυνάμει γνώσεις που γίνονται αντιληπτές μόνο γεωμετρικά και ενσωματώθηκαν στους πραγματικούς αριθμούς εκ των προτέρων;