Σειρές Taylor

Οι σειρές Taylor ορίζονται σε απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Για τις σειρές Maclaurin χρειάζεται επιπλέον να ορίζονται στο 0.

Σειρές Maclaurin:

Γενικός τύπος: $f(x)=f(0)+f'(0){\frac {x}{1}}+f''(0){\frac {x^{2}}{2!}}+f^{3}(0){\frac {x^{3}}{3!}}+...+f^{k}(0){\frac {x^{k}}{k!}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }(f^{(n)}(0){\frac {x^{n}}{n!}})+1$

• Η σειρά Maclaurin κάθε πολυωνυμικής συνάρτησης ισούται με την ίδια τη συνάρτηση.

• $a^{x}=1+\ln a{\frac {x}{1}}+(\ln a)^{2}{\frac {x^{2}}{2!}}+(\ln a)^{3}{\frac {x^{3}}{3!}}+...+(\ln a)^{k}{\frac {x^{k}}{k!}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }((\ln a)^{n}{\frac {x^{n}}{n!}})+1$

• $sinx=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...$