Στοιχεία Συνδυαστικής
Η Συνδυαστική αποτελεί έναν πολύ ευρύ τομέα των Μαθηματικών που μελετά τις διακριτές δομές. Στο πλαίσιο αυτού του μαθήματος θα δούμε πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Συνδυαστική για να απαριθμήσουμε γεγονότα ώστε στη συνέχεια να μπορούμε να βρούμε την πιθανότητα πραγματοποίησής τους.
Διδακτικοί στόχοι
επεξεργασίαΣ' αυτό το μάθημα θα μάθουμε
- τι είναι η δειγματοληψία με επανάθεση και χωρίς επανάθεση
- τι είναι η δειγματοληψία με διατάξη και χωρίς διάταξη
- να ξεχωρίζουμε τι σημαίνουν οι όροι μεταθέσεις, διατάξεις και συνδιασμοί
Δειγματοληψία
επεξεργασίαΑς υποθέσουμε ότι έχουμε έναν συγκεκριμένο αριθμό αντικειμένων που μας ενδιαφέρουν. Τα αντικείμενα αυτά θα μπορούσαν για παράδειγμα να είναι σφαιρίδια σε μία κάλπη, ο αριθμός των αυτοκινήτων που περνάν από έναν σταθμό διοδίων ή κινητά τηλέφωνα που παράγονται σε μια βιομηχανία. Τις περισσότερες φορές δεν μπορούμε να πραγματοποιήσουμε ελέγχους σε όλα αυτά τα αντικείμενα, λόγω κόστους ή μεγέθους του πληθυσμού ή άλλων περιορισμών που έχουμε. Γι' αυτό το λόγο διαλέγουμε μόνο έναν συγκεκριμένο αριθμό, τον οποίο καλούμε δείγμα, εξετάζουμε αυτόν και κατόπιν προσπαθούμε με διάφορες μεθόδους να βγάλουμε συμπεράσματα για ολόκληρο τον πληθυσμό. Βεβαίως μπορεί επίσης ο σκοπός μας να μην είναι να καταλήξουμε σε κάποιο συμπέρασμα, αλλά απλώς να εξετάσουμε το αποτέλεσμα του πειράματος τύχης, δηλαδή την πραγματοποίησή του. Η παραπάνω διαδικασία ονομάζεται δειγματοληψία.
Πολλαπλασιαστική αρχή
επεξεργασίαΗ πολλαπλασιαστική αρχή αποτελεί το βασικότερο κανόνα με τον οποίο απαριθμούμε γεγονότα και χρησιμεύει για την εξαγωγή υπόλοιπων κανόνων. Έστω ότι έχουμε το εξής πρόβλημα: έχουμε αποφασίσει ότι πρέπει επειγόντως να αλλάξουμε το παλιό μας αμάξι και γι' αυτό τον λόγο επισκεπτόμαστε μια αντιπροσωπεία αυτοκινήτων. Εκεί μας ενημερώνουν ότι τα διαθέσιμα μοντέλα είναι πέντε. Κάθε μοντέλο μπορεί να επιλεγεί σε δέκα διαφορετικά χρώματα και επίσης μπορούμε να επιλέξουμε αν θέλουμε το αυτοκίνητο να είναι τρίθυρο ή πεντάθυρο. Πώς μπορούμε να βρούμε πόσοι είναι όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί αγοράς που μπορούμε να κάνουμε;
Ένας τρόπος για να σκεφτούμε την λύση είναι ο εξής: έστω ότι επιλέγουμε πρώτα το μοντέλο. Εδώ μπορούμε να κάνουμε 5 επιλογές. Για κάθε μία επιλογή που θα κάνουμε στο μοντέλο μπορούμε να κάνουμε 10 διαφορετικές επιλογές για το χρώμα. Συνεπώς συνολικά έχουμε 50 διαφορετικές επιλογές για το μοντέλο και το χρώμα μαζί. Και εφόσον μπορούμε να επιλέξουμε και το πόσες πόρτες θέλουμε να έχει το αυτοκίνητο, έχουμε άλλες δύο επιλογές για κάθε επιλογή μοντέλου και χρώματος, δηλαδή σύνολο 100 διαφορετικές επιλογές. Ένας πιο συνεκτικός τρόπος να το γράψουμε αυτό είναι αν θεωρήσουμε ότι οι τρεις μας επιλογές αποτελούν στοιχεία ενός διανύσματος που θα έχει την μορφή (μοντέλο,χρώμα,αριθμός πορτών). Το πρώτο στοιχείο μπορεί να λάβει 5 τιμές, το δεύτερο 10 και το τελευταίο 2. Αυτό λοιπόν που δηλώνει η πολλαπλασιαστική αρχή είναι ότι για να βρούμε το σύνολο όλων των ενδεχομένων που μπορούν να προκύψουν, αρκεί για κάθε μία επιλογή που μπορούμε να κάνουμε να πολλαπλασιάσουμε των αριθμό των επιλογών μεταξύ τους. Έτσι εδώ μπορούμε να βρούμε το σύνολο όλων των ενδεχομένων κάνοντας τον πολλαπλασιασμό ενδεχόμενα.
