Οι επόμενοι τύποι αποτελούν μερική εφαρμογή του τύπου διωνύμου για
2
≤
n
≤
6
{\displaystyle 2\leq n\leq 6}
(
α
+
β
)
2
=
α
2
+
2
α
β
+
β
2
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}}
Ανάπτυγμα τετραγώνου αθροίσματος δύο όρων.
(
α
−
β
)
2
=
α
2
−
2
α
β
+
β
2
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}^{2}=\alpha ^{2}-2\alpha \beta +\beta ^{2}}
Ανάπτυγμα τετραγώνου διαφοράς δύο όρων.
(
α
+
β
)
3
=
α
3
+
3
α
2
β
+
3
α
β
2
+
β
3
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{3}=\alpha ^{3}+3\alpha ^{2}\beta +3\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3}}
Ανάπτυγμα κύβου αθροίσματος δύο όρων.
(
α
−
β
)
3
=
α
3
−
3
α
2
β
+
3
α
β
2
−
β
3
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}^{3}=\alpha ^{3}-3\alpha ^{2}\beta +3\alpha \beta ^{2}-\beta ^{3}}
Ανάπτυγμα κύβου διαφοράς δύο όρων.
(
α
+
β
)
4
=
α
4
+
4
α
3
β
+
6
α
2
β
2
+
4
α
β
3
+
β
4
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{4}=\alpha ^{4}+4\alpha ^{3}\beta +6\alpha ^{2}\beta ^{2}+4\alpha \beta ^{3}+\beta ^{4}}
Ανάπτυγμα τέταρτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.
(
α
−
β
)
4
=
α
4
−
4
α
3
β
+
6
α
2
β
2
−
4
α
β
3
+
β
4
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}^{4}=\alpha ^{4}-4\alpha ^{3}\beta +6\alpha ^{2}\beta ^{2}-4\alpha \beta ^{3}+\beta ^{4}}
Ανάπτυγμα τέταρτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.
(
α
+
β
)
5
=
α
5
+
5
α
4
β
+
10
α
3
β
2
+
10
α
2
β
3
+
5
α
β
4
+
β
5
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{5}=\alpha ^{5}+5\alpha ^{4}\beta +10\alpha ^{3}\beta ^{2}+10\alpha ^{2}\beta ^{3}+5\alpha \beta ^{4}+\beta ^{5}}
Ανάπτυγμα πέμπτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.
(
α
−
β
)
5
=
α
5
−
5
α
4
β
+
10
α
3
β
2
−
10
α
2
β
3
+
5
α
β
4
−
β
5
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}^{5}=\alpha ^{5}-5\alpha ^{4}\beta +10\alpha ^{3}\beta ^{2}-10\alpha ^{2}\beta ^{3}+5\alpha \beta ^{4}-\beta ^{5}}
Ανάπτυγμα πέμπτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.
(
α
+
β
)
6
=
α
6
+
6
α
5
β
+
15
α
4
β
2
+
20
α
3
β
3
+
15
α
2
β
4
+
6
α
β
5
+
β
6
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{6}=\alpha ^{6}+6\alpha ^{5}\beta +15\alpha ^{4}\beta ^{2}+20\alpha ^{3}\beta ^{3}+15\alpha ^{2}\beta ^{4}+6\alpha \beta ^{5}+\beta ^{6}}
Ανάπτυγμα έκτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.
(
α
−
β
)
6
=
α
6
−
6
α
5
β
+
15
α
4
β
2
−
20
α
3
β
3
+
15
α
2
β
4
−
6
α
β
5
+
β
6
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}^{6}=\alpha ^{6}-6\alpha ^{5}\beta +15\alpha ^{4}\beta ^{2}-20\alpha ^{3}\beta ^{3}+15\alpha ^{2}\beta ^{4}-6\alpha \beta ^{5}+\beta ^{6}}
Ανάπτυγμα έκτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.
Οι συντελεστές μπορούν να υπολογιστούν από το τρίγωνο του Πασκάλ . Στην παραπάνω εικόνα η δύναμη είναι στην αριστερή στήλη, ενώ οι αντίστοιχοι συντελεστές βρίσκονται στην ίδια γραμμή και στη σειρά συνήθης ανάπτυξης του διωνύμου.
επεξεργασία
Παραγοντοποίηση διαφοράς τετραγώνων.
α
2
−
β
2
=
(
α
+
β
)
(
α
−
β
)
{\displaystyle \alpha ^{2}-\beta ^{2}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}}
Παραγοντοποίηση διαφοράς κύβων.
α
3
−
β
3
=
(
α
−
β
)
(
α
2
+
α
β
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{3}-\beta ^{3}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
Παραγοντοποίηση αθροίσματος κύβων.
α
3
+
β
3
=
(
α
+
β
)
(
α
2
−
α
β
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{3}+\beta ^{3}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
Παραγοντοποίηση διαφοράς τέταρτης δύναμης.
α
4
−
β
4
=
(
α
−
β
)
(
α
+
β
)
(
α
2
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{4}-\beta ^{4}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
Παραγοντοποίηση αθροίσματος τετάρτης δύναμης
α
4
+
β
4
=
(
α
2
−
2
α
β
+
β
2
)
(
α
2
+
2
α
β
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{4}+\beta ^{4}\ =(\alpha ^{2}-{\sqrt {2}}\alpha \beta +\beta ^{2})(\alpha ^{2}+{\sqrt {2}}\alpha \beta +\beta ^{2})}
Παραγοντοποίηση διαφοράς πέμπτης δύναμης.
α
5
−
β
5
=
(
α
−
β
)
(
α
4
+
α
3
β
+
α
2
β
2
+
α
β
3
+
β
4
)
{\displaystyle \alpha ^{5}-\beta ^{5}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{4}+\alpha ^{3}\beta +\alpha ^{2}\beta ^{2}+\alpha \beta ^{3}+\beta ^{4}\end{pmatrix}}}
Παραγοντοποίηση αθροίσματος πέμπτης δύναμης.
α
5
+
β
5
=
(
α
+
β
)
(
α
4
−
α
3
β
+
α
2
β
2
−
α
β
3
+
β
4
)
{\displaystyle \alpha ^{5}+\beta ^{5}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{4}-\alpha ^{3}\beta +\alpha ^{2}\beta ^{2}-\alpha \beta ^{3}+\beta ^{4}\end{pmatrix}}}
Παραγοντοποίηση διαφοράς έκτης δύναμης.
α
6
−
β
6
=
(
α
−
β
)
(
α
+
β
)
(
α
2
+
α
β
+
β
2
)
(
α
2
−
α
β
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{6}-\beta ^{6}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
επεξεργασία
Οι παρακάτω τύποι ισχύουν για
n
∈
N
∗
=
N
−
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} -{\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}}
α
2
n
+
1
−
β
2
n
+
1
=
(
α
−
β
)
∑
i
=
0
2
n
α
2
n
−
i
β
i
=
(
α
−
β
)
∏
i
=
1
n
(
α
2
−
2
α
β
σ
υ
ν
2
i
π
2
n
+
1
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{2n+1}-\beta ^{2n+1}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}\sum _{i=0}^{2n}\alpha ^{2n-i}\beta ^{i}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}\prod _{i=1}^{n}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu {\frac {2i\pi }{2n+1}}+\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
α
2
n
+
1
+
β
2
n
+
1
=
(
α
+
β
)
∑
i
=
0
2
n
(
−
1
)
i
α
2
n
−
i
β
i
=
(
α
+
β
)
∏
i
=
1
n
(
α
2
+
2
α
β
σ
υ
ν
2
i
π
2
n
+
1
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{2n+1}+\beta ^{2n+1}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}\alpha ^{2n-i}\beta ^{i}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}\prod _{i=1}^{n}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu {\frac {2i\pi }{2n+1}}+\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
α
2
n
−
β
2
n
=
(
α
+
β
)
(
α
−
β
)
∑
i
=
0
n
α
n
−
1
−
i
β
i
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
α
n
−
1
−
i
β
i
=
(
α
+
β
)
(
α
−
β
)
∏
i
=
1
n
−
1
(
α
2
−
2
α
β
σ
υ
ν
i
π
n
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{2n}-\beta ^{2n}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}\sum _{i=0}^{n}\alpha ^{n-1-i}\beta ^{i}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\alpha ^{n-1-i}\beta ^{i}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}\prod _{i=1}^{n-1}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu {\frac {i\pi }{n}}+\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
α
2
n
+
β
2
n
=
∏
i
=
1
n
(
α
2
+
2
α
β
σ
υ
ν
(
2
i
−
1
)
π
2
n
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{2n}+\beta ^{2n}=\prod _{i=1}^{n}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu {\frac {{\begin{pmatrix}2i-1\end{pmatrix}}\pi }{2n}}+\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
α
4
+
α
2
β
2
+
β
4
=
(
α
2
+
α
β
+
β
2
)
(
α
2
−
α
β
+
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{4}+\alpha ^{2}\beta ^{2}+\beta ^{4}={\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
α
4
+
4
β
4
=
(
α
2
+
2
α
β
+
2
β
2
)
(
α
2
−
2
α
β
+
2
β
2
)
{\displaystyle \alpha ^{4}+4\beta ^{4}={\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+2\alpha \beta +2\beta ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-2\alpha \beta +2\beta ^{2}\end{pmatrix}}}
α
2
+
β
2
=
(
α
+
β
i
)
(
α
−
β
i
)
,
{\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}=(\alpha +\beta i)(\alpha -\beta i),}
i
{\displaystyle i}
C
{\displaystyle C}
