Ταυτότητες

Αναπτύγματα δυνάμεων διωνύμων

Οι επόμενοι τύποι αποτελούν μερική εφαρμογή του τύπου διωνύμου για $2\leq n\leq 6$.

${\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}$

• Ανάπτυγμα τετραγώνου αθροίσματος δύο όρων.

${\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}^{2}=\alpha ^{2}-2\alpha \beta +\beta ^{2}$

• Ανάπτυγμα τετραγώνου διαφοράς δύο όρων.

${\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{3}=\alpha ^{3}+3\alpha ^{2}\beta +3\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3}$

• Ανάπτυγμα κύβου αθροίσματος δύο όρων.

${\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}^{3}=\alpha ^{3}-3\alpha ^{2}\beta +3\alpha \beta ^{2}-\beta ^{3}$

• Ανάπτυγμα κύβου διαφοράς δύο όρων.

${\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{4}=\alpha ^{4}+4\alpha ^{3}\beta +6\alpha ^{2}\beta ^{2}+4\alpha \beta ^{3}+\beta ^{4}$

• Ανάπτυγμα τέταρτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.

${\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}^{4}=\alpha ^{4}-4\alpha ^{3}\beta +6\alpha ^{2}\beta ^{2}-4\alpha \beta ^{3}+\beta ^{4}$

• Ανάπτυγμα τέταρτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.

${\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{5}=\alpha ^{5}+5\alpha ^{4}\beta +10\alpha ^{3}\beta ^{2}+10\alpha ^{2}\beta ^{3}+5\alpha \beta ^{4}+\beta ^{5}$

• Ανάπτυγμα πέμπτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.

${\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}^{5}=\alpha ^{5}-5\alpha ^{4}\beta +10\alpha ^{3}\beta ^{2}-10\alpha ^{2}\beta ^{3}+5\alpha \beta ^{4}-\beta ^{5}$

• Ανάπτυγμα πέμπτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.

${\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}^{6}=\alpha ^{6}+6\alpha ^{5}\beta +15\alpha ^{4}\beta ^{2}+20\alpha ^{3}\beta ^{3}+15\alpha ^{2}\beta ^{4}+6\alpha \beta ^{5}+\beta ^{6}$

• Ανάπτυγμα έκτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.

${\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}^{6}=\alpha ^{6}-6\alpha ^{5}\beta +15\alpha ^{4}\beta ^{2}-20\alpha ^{3}\beta ^{3}+15\alpha ^{2}\beta ^{4}-6\alpha \beta ^{5}+\beta ^{6}$

• Ανάπτυγμα έκτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.

Οι συντελεστές μπορούν να υπολογιστούν από το τρίγωνο του Πασκάλ. Στην παραπάνω εικόνα η δύναμη είναι στην αριστερή στήλη, ενώ οι αντίστοιχοι συντελεστές βρίσκονται στην ίδια γραμμή και στη σειρά συνήθης ανάπτυξης του διωνύμου.

Παραγοντοποιήσεις

Παραγοντοποιήσεις αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων

• Παραγοντοποίηση διαφοράς τετραγώνων.

$\alpha ^{2}-\beta ^{2}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}$

• Παραγοντοποίηση διαφοράς κύβων.

$\alpha ^{3}-\beta ^{3}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}$

• Παραγοντοποίηση αθροίσματος κύβων.

$\alpha ^{3}+\beta ^{3}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}$

• Παραγοντοποίηση διαφοράς τέταρτης δύναμης.

$\alpha ^{4}-\beta ^{4}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+\beta ^{2}\end{pmatrix}}$

• Παραγοντοποίηση αθροίσματος τετάρτης δύναμης

$\alpha ^{4}+\beta ^{4}\ =(\alpha ^{2}-{\sqrt {2}}\alpha \beta +\beta ^{2})(\alpha ^{2}+{\sqrt {2}}\alpha \beta +\beta ^{2})$

• Παραγοντοποίηση διαφοράς πέμπτης δύναμης.

$\alpha ^{5}-\beta ^{5}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{4}+\alpha ^{3}\beta +\alpha ^{2}\beta ^{2}+\alpha \beta ^{3}+\beta ^{4}\end{pmatrix}}$

• Παραγοντοποίηση αθροίσματος πέμπτης δύναμης.

$\alpha ^{5}+\beta ^{5}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{4}-\alpha ^{3}\beta +\alpha ^{2}\beta ^{2}-\alpha \beta ^{3}+\beta ^{4}\end{pmatrix}}$

• Παραγοντοποίηση διαφοράς έκτης δύναμης.

$\alpha ^{6}-\beta ^{6}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}$

Γενίκευση παραγοντοποιήσεων αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων

• Οι παρακάτω τύποι ισχύουν για $n\in \mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} -{\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}$

$\alpha ^{2n+1}-\beta ^{2n+1}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}\sum _{i=0}^{2n}\alpha ^{2n-i}\beta ^{i}={\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}\prod _{i=1}^{n}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu {\frac {2i\pi }{2n+1}}+\beta ^{2}\end{pmatrix}}$

$\alpha ^{2n+1}+\beta ^{2n+1}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}\alpha ^{2n-i}\beta ^{i}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}\prod _{i=1}^{n}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu {\frac {2i\pi }{2n+1}}+\beta ^{2}\end{pmatrix}}$

$\alpha ^{2n}-\beta ^{2n}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}\sum _{i=0}^{n}\alpha ^{n-1-i}\beta ^{i}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\alpha ^{n-1-i}\beta ^{i}={\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha -\beta \end{pmatrix}}\prod _{i=1}^{n-1}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu {\frac {i\pi }{n}}+\beta ^{2}\end{pmatrix}}$

$\alpha ^{2n}+\beta ^{2n}=\prod _{i=1}^{n}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu {\frac {{\begin{pmatrix}2i-1\end{pmatrix}}\pi }{2n}}+\beta ^{2}\end{pmatrix}}$

Άλλες παραγοντοποιήσεις

$\alpha ^{4}+\alpha ^{2}\beta ^{2}+\beta ^{4}={\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2}\end{pmatrix}}$

$\alpha ^{4}+4\beta ^{4}={\begin{pmatrix}\alpha ^{2}+2\alpha \beta +2\beta ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{2}-2\alpha \beta +2\beta ^{2}\end{pmatrix}}$

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}=(\alpha +\beta i)(\alpha -\beta i),$ όπου $i$ η φανταστική μονάδα (imaginary unit). Είναι φανερό ότι το συγκεκριμένο άθροισμα τετραγώνων παραγοντοποιείται μόνο στο σύνολο $C$ των μιγαδικών αριθμών.

• (Συνεχίζεται...)
• Επιστροφή στο Τμήμα Μαθηματικών