Υλικό σημείο

Υλικό σημείο ορίζεται ως ένα σώμα του οποίου θεωρούμε τις διαστάσεις αμελητέες, έτσι ώστε να προσδιορίζεται ως ένα σημείο στον χώρο. Η έννοια υλικού σημείου είναι μια από τις θεμελιώδης έννοιες στην Κλασσική μηχανική και χρησιμοποιείται για διδακτικούς αλλά και για πρακτικούς λόγους καθώς βοηθάει στην ευκολότερη μελέτη διαφόρων προβλημάτων. Κυρίως εφαρμόζεται σε προβλήματα όπου οι αποστάσεις δυο σωμάτων που αλληλεπιδρούν είναι πολύ μεγαλύτερες από τις διαστάσεις του καθενός. Επομένως, είναι σκόπιμη η χρήση της έννοιας στην μελέτη των δυνάμεων και της κίνησης πλανητών γύρω από ένα άστρο. Ενώ, από την άλλη, δεν θα είχε νόημα στην μελέτη διάδοσης των σεισμικών κυμάτων μέσα από την Γη.

Θέση υλικού σημείου στον χώρο σε σχέση με ένα σύστημα αναφοράς

Καρτεσιανές συντεταγμένες

Είναι γνωστό ό,τι ένα σημείο Σ που αντιπροσωπεύει ένα σώμα μάζας m έχει συντεταγμένες $\Sigma =\langle f_{1},f_{2},f_{3}\rangle$όπου $f_{1},f_{2},f_{3}$ μπορεί να είναι συναρτήσεις του χρόνου.

Έστω ένα σύστημα αναφοράς Οxyz. Το διάνυσμα $${\overrightarrow {O\Sigma }}=\langle f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)\rangle =f_{1}(t){\hat {i}}+f_{2}(t){\hat {j}}+f_{3}(t){\hat {j}}={\vec {r}}_{1}$$όπου i,j,k οι διανυσματικές μονάδες του συστήματος αναφοράς Οxyz που αντιπροσωπεύουν του άξονες x,y,z αντίστοιχα. Ορίζονται ως:

$${\hat {i}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},{\hat {j}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},{\hat {k}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$$Απόσταση μεταξύ δύο υλικών σημείων

Έστω ένα δεύτερο υλικό σημείο P που κινείται σε σχέση το σύστημα αναφοράς Oxyz με συνάρτηση θέσης ${\overrightarrow {OP}}=\langle g_{1}(t),g_{2}(t),g_{3}(t)\rangle ={\vec {r}}_{2}$.

Η απόσταση μεταξύ των σημείων Σ και Ρ είναι:

$$d({\overrightarrow {O\Sigma }},{\overrightarrow {OP}})=|{\overrightarrow {O\Sigma }}-{\overrightarrow {OP}}|=|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|$$

Παρατηρήστε ό,τι η σειρά των διανυσμάτων στην τελευταία εξίσωση δεν παίζει ρόλο. Επομένως, κάνοντας της πράξεις έχουμε:

$$d(\Sigma ,P)=d(P,\Sigma )=|[f_{1}-g_{1}]{\hat {i}}+[f_{2}-g_{2}]{\hat {j}}+[f_{3}-g_{3}]{\hat {k}}|=|[g_{1}-f_{1}]{\hat {i}}+[g_{2}-f_{2}]{\hat {j}}+[g_{3}-f_{3}]{\hat {k}}|$$

όπου ισχύει ό,τι $g_{1}(t),g_{2}(t),g_{3}(t),f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)$

Πηγές: -