Βασικές πράξεις

Βασικές πράξεις στα μαθηματικά και κυρίως την αριθμητική ονομάζονται η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση.

Ιδιότητες πρόσθεσης:

α+β=β+α (αντιμεταθετική)
(α+β)+γ=α+(β+γ) (προσεταιριστική)

Άρα η έκφραση α+β+γ έχει νόημα, γιατί το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά των όρων.

α+0=α (ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης)
για κάθε α υπάρχει -α τέτοιο, ώστε α+(-α)=0 (ύπαρξη αντιθέτου)

Αφαίρεση είναι η πρόσθεση με τον αντίθετο, δηλαδή α-β=α+(-β). Έτσι, η αφαίρεση είναι είδος πρόσθεσης.

Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού

α∙β=β∙α (αντιμεταθετική)
(α∙β)∙γ=α∙(β∙γ) (προσεταιριστική)

Άρα η έκφραση α∙β∙γ έχει νόημα, γιατί το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά των όρων.

α∙1=α (ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού)
α∙0=0 (αποροφητικό στοιχείο του πολλαπλασιασμού)
για κάθε α, εκτός του 0 υπάρχει 1/α, τέτοιο, ώστε α∙1/α=1 (ύπαρξη αντιστρόφου)

Διαίρεση είναι ο πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο, δηλαδή α÷β=α∙1/β. Έτσι, η διαίρεση είναι είδος πολλαπλασιασμού.

Το γεγονός ότι η ύπαρξη αντιστρόφου δεν ισχύει για το μηδέν διαφοροποιεί τουλάχιστον θεωρητικά τον πολλαπλασιασμό με την πρόσθεση. Αν υπήρχε αντίστροφος του μηδενός, τότε οι πράξεις θεωρητικά θα ταυτίζονταν και θα ίσχυε 0=1.

Επιμεριστική ιδιότητα

α∙(β+γ)=α∙β+α∙γ

Ο πολλαπλασιασμός και η πρόσθεση είναι κλειστές ως προς το C, Q, R, Z, N. Η αφαίρεση είναι κλειστή ως προς τα C, Q, R, Z, ενώ η διαίρεση ως προς τα C, Q, R.