Πράξεις συνόλων

Μάθημα από τη Θεωρία Συνόλων.

Υπάρχουν δύο βασικές πράξεις συνόλων, η ένωση και η τομή. Άλλες πράξεις συνόλων είναι η αφαίρεση, το καρτεσιανό γινόμενο, η ύψωση σε φυσικό και το δυναμοσύνολο. Επιπλέον, δύο βασικές έννοιες είναι το υποσύνολο και το υπερσύνολο.

Ένωση

Ένωση κάποιων αρχικών συνόλων είναι το σύνολο, του οποίου κάθε στοιχείο ανήκει σε κάποιο από τα αρχικά σύνολα.

Για παράδειγμα η ένωση το συνόλων Α={1,4,9} και Β={10,4,7} είναι το σύνολο Γ={1,4,9,10,7}.

Η ένωση δύο συνόλων Α και Β συμβόλιζεται: Α$\cup$Β

Έτσι στο παραπάνω παράδειγμα είναι: Γ=Α$\cup$Β

Τομή

Τομή κάποιων αρχικών συνόλων είναι το σύνολο, του οποίου κάθε στοιχείο ανήκει σε κάθε ένα από τα αρχικά σύνολα.

Για παράδειγμα η τομή το συνόλων Α={1,4,9} και Β={10,4,7} είναι το σύνολο Γ={4}.

Η τομή δύο συνόλων Α και Β συμβόλιζεται: Α$\cap$Β

Έτσι στο παραπάνω παράδειγμα είναι: Γ=Α$\cap$Β

Ξένα σύνολα

Δύο σύνολα είναι ξένα μεταξύ τους, αν δεν υπάρχει κοινό στοιχείο. Η τομή δύο ξένων συνόλων είναι το κενό σύνολο.

Για παράδειγμα τα σύνολα Α={1,3,7} και Β={4,9,23} είναι ξένα μεταξύ τους και ισχύει: Α$\cap$Β=$\emptyset$

Ο πληθάριθμος της ένωσης δύο ξένων συνόλων είναι το άθροισμα των δύο ξένων συνόλων. Έτσι, ισχύει:

card(A)+card(B)=3+3=6

card(Α$\cup$Β)=card({1,3,7,4,9,23})=6=card(A)+card(B)

Αφαίρεση

Αφαίρεση ενός συνόλου από ένα δεύτερο σύνολο είναι το σύνολο των στοιχείων του δεύτερου που δεν ανήκουν στο πρώτο.

Για παράδειγμα αφαίρεση του συνόλου Α={1,4,10} από το Β={1,5,10} είναι το σύνολο Γ={5}.

Η αφαίρεση του Α από το Β συμβολίζεται με Β-Α. Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα είναι: Γ=Β-Α

Η αφαίρεση Β-Α είναι σύνολο ξένο με το Α. Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

Α$\cup$Β=(Α-Β)$\cup$(Α$\cap$Β)$\cup$(Β-Α)

Τα σύνολα Α-Β, Α$\cap$Β, Β-Α είναι ξένα μεταξύ τους.

card(Α$\cup$Β)=card(Α-Β)+card(Α$\cap$Β)+card(Β-Α)

(Καρτεσιανό) γινόμενο

Είναι γνωστό από τη γραμμική άλγεβρα ότι ζεύγος ονομάζεται μια διατεταγμένη δυάδα στοιχείων, ενώ το ζεύγος των α, β συμβολίζεται με (α,β).

Καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων είναι το σύνολο των ζευγών κάθε στοιχείου του πρώτου συνόλου με κάθε στοιχείου του δεύτερου.

Για παράδειγμα το γινόμενο των συνόλων Α={1,3,5} και Β={1,8,2,12} είναι το:

Α$\times$B={(1,1),(1,8),(1,2),(1,12),(3,1),(3,8),(3,2),(3,12),(5,1),(5,8),(5,2),(5,12)}

Επίσης, ισχύει η σχέση:

card(A$\times$B)=card(A)$\times$card(B)

Ύψωση σε φυσικό

Ύψωση ενός συνόλου Α στον φυσικό ν είναι το σύνολο Α$\times$Αν-1. Ισχύει ότι Α1=A.

Για παράδειγμα Α={1,2,3}, τότε:

Α³={(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)}

Επίσης, ισχύει η σχέση:

card(Aⁿ)=(card(A))ⁿ

Δυναμοσύνολο

Δυναμοσύνολο είναι το σύνολο όλων των συνόλων που μπορούν να φτιαχτούν με τα στοιχεία του αρχικού συνόλου.

Για παράδειγμα το δυναμοσύνολο του Α={1,2,3} είναι το Β={$\emptyset$,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

Συμβολίζεται με 2^Α. Ισχύει: card(2^Α)=2^card(Α)

Διάταξη συνόλων

Υποσύνολο ενός άλλου συνόλου είναι σύνολο, όπου κάθε στοιχείο του ανήκει και στο άλλο σύνολο.

Για παράδειγμα το Α={1,2,3} είναι υποσύνολο του Β={1,2,5,4,3}.

Συμβολίζεται με $A\subseteq B$

Υπερσύνολο ενός άλλου συνόλου είναι σύνολο, όπου κάθε στοιχείο του άλλου συνόλου ανήκει και στο πρώτο.

Για παράδειγμα το Β={1,2,5,4,3} είναι υπερσύνολο του Α={1,2,3}.

Συμβολίζεται με $B\supseteq A$

Αν ένα σύνολο είναι υποσύνολο και υπερσύνολο ενός άλλου συνόλου, τα δύο σύνολα είναι ίσα.

Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο και υπερσύνολο του εαυτού του.

Γνήσιο υποσύνολο ενός άλλου συνόλου είναι υποσύνολο του άλλου και όχι ίσο του.

Για παράδειγμα το Α={1,2,3} είναι γνήσιο υποσύνολο του Β={1,2,5,4,3}.

Συμβολίζεται με $A\subset B$

Γνήσιο υπερσύνολο ενός άλλου συνόλου είναι υπερσύνολο του άλλου και όχι ίσο του.

Για παράδειγμα το Β={1,2,5,4,3} είναι γνήσιο υπερσύνολο του Α={1,2,3}.