Οι αριθμοί

Αριθμοί ή νούμερο είναι μια ποσότητα ή αξία μέτρησης. Οι αριθμοί είναι αρκετά αφηρημένες έννοιες, οι οποίες όμως χρησιμοποιούνται σχεδόν παντού από την καθημερινή ζωή μέχρι και τις πιο εκλεπτυσμένες επιστήμες. Η κατανόηση της έννοιας του αριθμού μπορεί να γίνει μέσω της μέτρησης.

Ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τους αριθμούς είναι η αριθμητική.

Η χρησιμότητα των αριθμών

Οι αριθμοί προσδιορίζουν ποσότητες. Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς είναι δυνατό να απαντηθούν με ακρίβεια και σαφήνεια ερωτήσεις που χρησιμοποιούν την αναφορική ανωνυμία πόσος. Οι αριθμοί είναι αφηρημένη έννοια, γιατί δεν περιγράφουν μια συγκεκριμένη ποσότητα, αλλά οποιαδήποτε ποσότητα. Οι αριθμοί εμφανίζουν πολλή μεγάλη εφαρμογή στις θετικές και φυσικές επιστήμες.

Παραδείγματα

Πόσα μήλα έφαγες;

Τέσσερα.

Παρατηρούμε ότι ο αριθμός τέσσερα προσδιορίζει λοιπόν την ποσότητα των μήλων, έτσι ο άλλος γνωρίζει ακριβώς πόσα μήλα φαγώθηκαν. Το ίδιο μπορεί μπορεί να συμβεί όχι μόνο για τα μήλα αλλά για οποιαδήποτε ποσότητα όπως τα αχλάδια, τα πιάτα, τα τραπέζια τα δωμάτια ενός σπιτιού, τους πλανήτες, τα άστρα ακόμα και για πιο θεωρητικά αντικείμενα όπως είναι οι σελίδες ενός βιβλίου, τα ζώα ενός ζωολογικού κήπου, τα χρήματα που αξίζει ένα προϊόν, τα χρέη ή τα κέρδη μιας επιχείρησης, την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος, την ηλεκτρική εμπέδηση ή τον αριθμό όλων των κόκκων άμμου που υπάρχουν πάνω στη γη.

Οι απαντήσεις στα παρακάτω ερωτήματα είναι αριθμοί ή περιέχουν αριθμούς.

Πόσα αυτοκίνητα υπάρχουν σε αυτόν το δρόμο;

Εκατόν πενήντα

Πόσο νερό έχει η κανάτα

Μισό λίτρο.

Ποιό είναι το ύψος μας από την επιφάνεια της θάλασσας στο Άμστερνταμ;

Μείον δέκα μέτρα.

Πόση είναι η ηλεκτρική εμπέδηση;

Ένα και γιοτ Ωμ.

Ποιός είναι μεγαλύτερος αριθμός;

Το άπειρο;

Πόσα χρήματα έχουμε στο λογαριασμό μας;

Μηδέν.

Πόσοι αριθμοί υπάρχουν;

Άπειροι!

Αριθμητικά συστήματα

Έχουν αναπτυχθεί πολλά και διάφορα αριθμητικά συστήματα. Τα αριθμητικά συστήματα είναι τρόποι έκφρασης των αριθμών, δηλαδή προσδιορίζουν με ποιον τρόπο θα ειπωθούν και θα γραφούν οι αριθμοί. Οι αριθμοί είναι άπειροι, άρα δεν υπάρχει τρόπος να σκεφτούμε για κάθε αριθμό ένα ξεχωριστό όνομα. Επιπλέον, πρέπει να υπάρξει ένας κοινός κώδικας επικοινωνίας, δηλαδή θα πρέπει ο κάθε αριθμός να ειπωθεί ή να γραφεί με τέτοιο τρόπο, ώστε να μπορεί να τον καταλάβει ο οποιοσδήποτε.

Το αριθμητικό σύστημα γραφής που τελικά έχει επικρατήσει διεθνώς είναι οι επωνομαζόμενοι αραβικοί αριθμοί. Το σύστημα αυτό είναι δεκαδικό. Το σύστημα αυτό έχει βελτιωθεί, για να είναι πιο εύκολο στη γραφή. Επιπλέον, ενώ αρχικά χρησιμοποιούταν για τους φυσικούς αριθμούς έχει επεκταθεί, για να συμπεριλάβει τους πραγματικούς και τους φανταστικούς.

Για το ισχύον αριθμητικό σύστημα πατήστε εδώ.

Για την ομιλία των αριθμών στα ελληνικά δείτε οι αριθμοί στην ελληνική γλώσσα.

Για περισσότερα σχετικά με τα αριθμητικά συστήματα δείτε αριθμητικό σύστημα.

Λειτουργίες των αριθμών

Οι αριθμοί εξυπηρετούν τις εξής τρεις λειτουργίες:

• Προσδιορισμός του πλήθους των στοιχείων και της πληθυκότητας ενός συνόλου.

• Προσδιορισμός της σειράς κάθε στοιχείου μιας καλής και ολικής διάταξης.

• Απαρίθμηση των στοιχείων ενός συνόλου.

Πράξεις

Οι αριθμοί είναι νοητά αντικείμενα, τα οποία αποκτούν νόημα όταν είναι εφοδιασμένα με συγκεκριμένες μεθόδους. Οι αριθμοί είναι εφοδιασμένοι με τις εξής πράξεις:

• πρόσθεση
• αφαίρεση
• πολλαπλασιαμός
• διαίρεση

Οι οποίες ονομάζονται και βασικές πράξεις.

Κατηγορίες αριθμών

Οι αριθμοί έχουν κατηγοριοποιηθεί στα παρακάτω σύνολα. Το κάθε σύνολο είναι υπερσύνολο του προηγουμένου:

• Φυσικοί αριθμοί (αριθμοί που όλοι οι άνθρωποι γνωρίζουν)
• Ακέραιοι αριθμοί (οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς)
• Ρητοί αριθμοί (όλα τα κλάσματα με όρους τους ακέραιους αριθμούς)
• πραγματικοί αριθμοί (επέκταση των ρητών, ώστε να ισχύει η πληρώτητα)
• μιγαδικοί αριθμοί (όλες οι λύσεις πολυωνύμων οποιουδήποτε βαθμού με πραγαμτικούς συντελεστές)

Επιπλέον έχουν ονομαστεί και οι εξής υποκατηγορίες τους:

• Άρρητοι αριθμοί: Οι πραγματικοί αριθμοί που δεν είναι ρητοί.
• Υπερβατικοί αριθμοί: Οι άρρητοι αριθμοί που δεν είναι λύση πολυωνυμικής εξίσωσης.
• Φανταστικοί αριθμοί: Οι πραγαμτικοί αριθμοί πολλαπλασιασμένοι κατά γιοτ.

Επιπλέον υπάρχουν και οι υπερπεπερασμένοι αριθμοί, οι οποίοι μετράνε την πληθυκότητα των συνόλων.

Μερικοί σημαντικοί αριθμοί

Φυσικος: 1

Ακέραιος: 0

Ρητός: 0,99...9...=1

Άρρητοι:

• φ
• Υπερβατικοί: π, e

Φανταστικος: i

Ερωτήματα

Μερικά πεδία έρευνας σχετικά με τη φύση των αριθμών. Μπορείται να τα συζητήσετε ή να τα απαντήσετε στα πλαίσια του Βικιεπιστημίου.

• Φύση των αριθμών: Οι αριθμοί είναι μια έννοια που χρησιμοποιούν όλοι οι άνθρωποι. Οι αριθμοί υπάρχουν την πραγματικότητα ως φυσικές οντώτητες ή είναι ένα δημιούργημα μόνο της ανθρώπινης ή άλλης ανώτερης σκέψης;

• Μπορούν να οριστούν οι αριθμοί επακριβώς και σαφώς;

• Οι αριθμοί και οι πράξεις είναι διακριτά σύνολα ή αδιάσπαστα στοιχεία;

• Η έννοια του πλήθους και της πληθυκότητας είναι η ίδια;

• Υπάρχουν οι υπερπεπερασμένοι αριθμοί;

• Υπάρχουν εφαρμογές των υπερπεπερασμένων αριθμών;